Utilizando a equação característica, determine o comportamento dinâmico de um controlador PI com Kc igual a 0,1 e tauI igual a 10, aplicado a um processo de primeira ordem em que o ganho do processo é igual a 12 e a constante de tempo é igual a 9. Considere que Gm(s) e Ga(s) são iguais a unidade.

Passo 1

Beleza, bora lá! Temos um controlador PI com
e , ligado em malha fechada numa planta de primeira ordem com ganho 12 e constante de tempo 9. A malha é de realimentação unitária ( ).
Conteúdo: equação característica de sistemas em malha fechada e análise de um sistema de segunda ordem (pólos, taxa de amortecimento, frequência natural).
O que precisamos:
  1. Escrever .
  2. Montar .
  3. Extrair coeficientes e comparar com o padrão .
  4. Calcular , e ver se é subamortecido, criticamente amortecido ou sobreamortecido.

Passo 2

Primeiro, o controlador PI é
C(s) = Kcl(1 + 1tauI sr) = 0,1l(1 + 110sr) = 0,1 + 0,01s
E a planta é
P(s) = 129s + 1
O ganho de malha .

Passo 3

Vamos multiplicar:
L(s) = l(0,1 + 0,01sr)129s+1 = 1,2 + tfrac0,12s9s+1 = tfrac1,2s + 0,12s9s+1 = 1,2s + 0,12s(9s+1)
A equação característica é
1 + L(s) = 0 Longrightarrow s(9s+1) + (1,2s + 0,12) = 0
Expandindo:
9s^2 + s + 1,2s + 0,12 = 9s^2 + 2,2s + 0,12 = 0

Passo 4

Agora normaliza pra comparar com s^2 + 2,29s + 0,129 = 0 ;Longrightarrow; s^2 + 0,2444,s + 0,01333 = 0 .
Divide tudo por 9:
2zetaomegan = 0,2444, omegan^2 = 0,01333 ;Longrightarrow; omegan = raiz0,01333approx0,1155
Logo
zeta = 0,24442cdot0,1155approx1,06
Então
Como , o sistema é sobreamortecido (dois pólos reais e distintos).

Passo 5

Pra fechar, se quisermos achar os pólos:
s = -2,2 pm raiz2,2^2 - 4cdot9cdot0,122cdot9 = -2,2 pm raiz0,5218 ;Rightarrow; s1approx -0,0822,; s2approx -0,1623
Dois polos reais negativos bem separados – resposta não-oscila, é lenta (sobreamortecida).

Resposta

O sistema em malha fechada tem equação característica
9s^2 + 2,2s + 0,12 = 0,
ou seja, é um sistema de segunda ordem com
e . Como , o comportamento dinâmico é sobreamortecido (dois pólos reais em e ).

Exercícios relacionados