Considere a função de transferência do processo,
e o polinômio característico do sistema em malha fechada
:
Mostre, com uma técnica analítica de sua escolha, que o sistema em malha fechada não pode ser estabilizado com um controlador proporcional.
Mostre, com uma técnica analítica de sua escolha, que o sistema em malha fechada não pode ser estabilizado com um controlador proporcional.
Passo 1
Beleza, a questão diz que a gente tem um processo com
e que, no laço fechado com um controlador proporcional
Precisamos mostrar, de forma analítica, que não existe valor de
que deixe esse sistema estável.
Para isso vamos usar o critério de Routh–Hurwitz, que é uma técnica relativamente direta para ver se todos os polos ficam no semiplano esquerdo.
Para isso vamos usar o critério de Routh–Hurwitz, que é uma técnica relativamente direta para ver se todos os polos ficam no semiplano esquerdo.
Passo 2
Primeiro, montamos de fato o polinômio característico:
- A equação fechada é
2) Expandindo
- Reagrupando em potências de
:
Passo 3
Agora vamos aplicar o Routh–Hurwitz. A ideia é montar a tabela de Routh e verificar o sinal dos elementos na primeira coluna:
Polinômio:
Polinômio:
Tabela de Routh:
s^4 | 1 | 1 | 2K
s^3 | 2 | 2+2K | 0
s^2 | b_1 | b_2 | –
s^1 | c_1 | 0 | –
s^0 | 2K | – | –
s^3 | 2 | 2+2K | 0
s^2 | b_1 | b_2 | –
s^1 | c_1 | 0 | –
s^0 | 2K | – | –
Onde
$$b_1 = \frac{2\cdot1 - 1\cdot2}{2}=0,\quad
b_2 = \frac{2\cdot(2K) -1\cdot0}{2}=2K.$$
Note que o primeiro elemento da linha ficou exatamente zero.
Note que o primeiro elemento da linha
Passo 4
Quando isso acontece, a gente substitui esse zero por um
bem pequeno (para “forçar” o Routh) e vê o que rola. Então na linha
temos
.
– Linha :
– Linha
$$c_1 = \frac{\varepsilon,(2+2K)-2,(2K)}{\varepsilon}
=2+2K - \frac{4K}{\varepsilon},. $$
Como , o termo
domina, fazendo
se
. Ou seja, sempre aparece um sinal negativo na primeira coluna.
Como
Resposta
Não importa qual seja
, sempre teremos troca de sinal no Routh (linha
negativa), logo não há valor de
que torne o sistema estável.