Considere a função de transferência do processo,
Gp(s)=2(s+1)s(s+2)(s^2+1)
e o polinômio característico do sistema em malha fechada 1+Gc(s) Gp(s)=0:
Mostre, com uma técnica analítica de sua escolha, que o sistema em malha fechada não pode ser estabilizado com um controlador proporcional.

Passo 1

Beleza, a questão diz que a gente tem um processo com
Gp(s)=2,(s+1)s,(s+2),(s^2+1)
e que, no laço fechado com um controlador proporcional Gc(s)=K, o polinômio característico é
1+K,Gp(s)=0,
Precisamos mostrar, de forma analítica, que não existe valor de K que deixe esse sistema estável.
Para isso vamos usar o crité­rio de Routh–Hurwitz, que é uma técnica relativamente direta para ver se todos os polos ficam no semiplano esquerdo.

Passo 2

Primeiro, montamos de fato o polinômio característico:
  1. A equação fechada é
1+K2(s+1)s(s+2)(s^2+1)=0;Longrightarrow;s(s+2)(s^2+1)+2K(s+1)=0,
2) Expandindo s(s+2)(s^2+1)=sl(s^3+2s^2+s+2r)=s^4+2s^3+s^2+2s, fica
s^4+2s^3+s^2+2s+2K(s+1)=0,
  1. Reagrupando em potências de s:
boxeds^4 ;+;2,s^3;+;1,s^2;+;(2+2K),s;+;2K;=;0

Passo 3

Agora vamos aplicar o Routh–Hurwitz. A ideia é montar a tabela de Routh e verificar o sinal dos elementos na primeira coluna:
Polinômio:
a4=1, a3=2, a2=1, a1=2+2K, a0=2K
Tabela de Routh:
s^4 | 1 | 1 | 2K
s^3 | 2 | 2+2K | 0
s^2 | b_1 | b_2 | –
s^1 | c_1 | 0 | –
s^0 | 2K | – | –
Onde
$$b_1 = \frac{2\cdot1 - 1\cdot2}{2}=0,\quad
b_2 = \frac{2\cdot(2K) -1\cdot0}{2}=2K.$$
Note que o primeiro elemento da linha b1 = 2cdot1 - 1cdot22=0, b2 = 2cdot(2K) -1cdot02=2K ficou exatamente zero.

Passo 4

Quando isso acontece, a gente substitui esse zero por um varepsilon>0 bem pequeno (para “forçar” o Routh) e vê o que rola. Então na linha s^2 temos (varepsilon,;2K).
– Linha s^1:
$$c_1 = \frac{\varepsilon,(2+2K)-2,(2K)}{\varepsilon}
=2+2K - \frac{4K}{\varepsilon},. $$
Como c1 = varepsilon,(2+2K)-2,(2K)varepsilon =2+2K - 4Kvarepsilon, , o termo varepsilonto0^+ domina, fazendo -4K/varepsilon se c1to -infty. Ou seja, sempre aparece um sinal negativo na primeira coluna.

Resposta

Não importa qual seja K, sempre teremos troca de sinal no Routh (linha s^1 negativa), logo não há valor de K que torne o sistema estável.

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