Esquematize o local das raízes para a função de transferência em malha aberta de o sistema de controle feedback dado abaixo e determine:
O valor de K em s=-4 e obtenha a função de transferência para K=1,66.
G(s)=Ks(s+1)(s+3)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente desenhar o corredor de raízes (root locus) da função de malha aberta
G(s)=Ks,(s+1),(s+3)
e, a partir daí, achar:
1. Qual valor de T(s)=G(s)1+G(s) faz com que uma raiz esteja em .
2. Para , qual é a função de transferência em malha fechada.
Conteúdo: root locus (como posicionar polos e traçar segmentos no eixo real, assimptotas etc), condição de módulo para achar , e fórmula da malha fechada
Vamos precisar lembrar:
  • Onde estão os polos de .
  • Que no root locus, para um ponto estar na trajetória, vale (condição de módulo).
  • A definição de função de transferência em malha fechada.

Passo 2

Desenhando rapidinho o root locus de :
  1. Polos em .
  2. Não tem zeros finitos.
  3. Segmentos no eixo real onde há um número ímpar de polos/zéros à direita:
    • ,
    • .
  4. Asimptotas vão para o infinito segundo ângulos , , pois há 3 polos e 0 zeros.
Isso é só pra gente entender a “geografia” do root locus antes de calcular .

Passo 3

Agora, para achar |G(-4)| = 1 Longrightarrow |K(-4),(-4+1),(-4+3)| = 1 quando uma raiz está em (-4),(-3),(-1) = (-4times -3)times -1 = 12times(-1) = -12 , usamos a condição de módulo do root locus:
K|-12| = 1 Longrightarrow K = 12
Calculemos o denominador sem o :
Então

Passo 4

Para T(s) ;=;G(s)1+G(s) ;=; 1,66s(s+1)(s+3)% 1 ;+;1,66s(s+1)(s+3) ;=; 1,66s(s+1)(s+3) ;+;1,66 , a função de transferência em malha fechada é
s(s+1)(s+3) = s^3 + 4s^2 + 3s,
Se quiser, dá pra expandir o denominador:
T(s)=1,66s^3 +4s^2 +3s +1,66
então

Resposta

K para boxedT(s)=1,66s^3 +4s^2 +3s +1,66 : .
Função de transferência em malha fechada para :

Exercícios relacionados