Use o método de projeto CPMI para projetar controladores para os seguintes sistemas. Suponha que a constante de tempo de malha fechada desejada seja taup=5 em todos os casos. Use a aproximação da série de Taylor de primeira ordem para o termo de atraso.
G(s)=2 e^-2 s(10 s+1)(8 s+1)

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: a gente tem o sistema
G(s)=2,e^-2s(10s+1)(8s+1)
e quer projetar um controlador do tipo proporcional–integral (CPMI) de modo que a malha fechada tenha constante de tempo desejada . Além disso, a gente vai usar a aproximação de primeira ordem da série de Taylor para o atraso .
Conteúdo: projeto de controlador PI por cancelamento de polo e ajuste de ganho via tempo de resposta.
O que precisamos:
1) Aproximar por .
2) Escolher a estrutura .
3) Cancelar um polo do sistema via zero do PI (método CPMI).
4) Ajustar para que a malha fechada tenha .

Passo 2

Primeiro, aproximação do atraso por Taylor de 1ª ordem:
e^-2sapprox 1 - 2s,
Logo o nosso plant aproximado vira
Grm ap(s)=2,(1-2s)(10s+1)(8s+1),

Passo 3

Vamos escolher um controlador PI:
C(s)=Kcl(1+1Ti sr) = KcTi s + 1Ti s,
No método CPMI a ideia é usar o zero do PI ( Ti = 8, ) para cancelar um dos polos lentos do planta. A gente normalmente cancela o polo de menor constante de tempo (mais “rápido”), que aqui é .
Para cancelar, basta pôr

Passo 4

Com L(s)=C(s),Grm ap(s) =;Kc,8s+18s;cdot2,(1-2s)(10s+1)(8s+1) =;Kc;2,(1-2s)8s,(10s+1), , o laço aberto aproximado fica
Perceba que o fator cancelou.

Passo 5

Para achar 1-2s10s+1 = (1-2s),(1-10s+cdots) = 1 - 12s + O(s^2) , a gente usa um truque de expansão em série de L(s)=Kc,28s,(1-12s+O(s^2)) =Kc4s - 3Kc + O(s), para termos baixos de Kc4 = 5 Longrightarrow Kc = 20, .
  1. Observe que
  1. Então
Quando , .
3) Sabemos que, para , a resposta em malha fechada inicia em 1 e tem constante de tempo . Aqui .
4) Como queremos , impomos

Resposta

O controlador projetado é
boxedC(s) ;=; 20;l(1+18sr),

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