Considere a função u(x, y, z)=1raizx^2+y^2+z^2. Ela satisfaz qual das seguintes equações abaixo?
square
ux=uz
square
uz+uy+uz=0
square
ux r+uy N+uz x=0
square
3 ux x+2 uz y=0
square
uz mu+uz e=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $ e precisa descobrir qual das equações listadas ela satisfaz. Pra resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas mostram como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo as outras constantes. Então, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
A função $ u $ pode ser escrita como $ u = (x^2 + y^2 + z2){-1/2} $.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
u
De forma similar, temos:
x
y

Passo 3

Agora, vamos analisar cada uma das opções para ver qual delas é satisfeita pela função $ u $:
Opção 1:
u
Comparando $ u_x = -x(x^2 + y^2 + z2){-3/2} $ e $ u_z = -z(x^2 + y^2 + z2){-3/2} $, a igualdade só acontece se $ x = z $, o que não é uma condição geral. Então, essa opção não é verdadeira para qualquer ponto.
Opção 2:
ux = uz á
Se considerarmos que talvez tenha sido um erro de digitação e deveria ser $ u_x + u_y + u_z = 0 $:
ux = -x(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2
Isso não é igual a zero a menos que $ x + y + z = 0 $, o que também não é geral.
Opção 3:
uz = -z(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2
Essa notação não está clara, provavelmente há um erro na formulação. Vamos pular essa opção.
Opção 4:
x = z
Vamos calcular $ u_{xx} $ e $ u_{zy} $.
Primeiro, $ u_{xx} $ é a derivada de $ u_x $ em relação a $ x $:
uz + uy + uz = 0 (acho que há um erro, talvez seja $ ux + uy + uz = 0 $)
Aplicando a regra do produto:
ux + uy + uz = 0
Agora, $ u_{zy} $ é a derivada de $ u_z $ em relação a $ y $:
ux + uy + uz = -x(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - y(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - z(x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 = - (x + y + z) (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2
Substituindo na equação:
x + y + z = 0
Simplificando:
uxr + uyN + uzx = 0
Não parece simplificar para zero de forma geral, então essa opção também não é válida.
Opção 5:
3 uxx + 2 uzy = 0
Mais uma vez, a notação não está clara, provavelmente há um erro na formulação. Vamos pular essa opção.

Resposta

Nenhuma das equações apresentadas é satisfeita pela função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $.

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