Considere a função
. Ela satisfaz qual das seguintes equações abaixo?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem a função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} $ e precisa descobrir qual das equações listadas ela satisfaz. Pra resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessa função em relação às variáveis $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. Elas mostram como a função muda quando a gente varia uma variável, mantendo as outras constantes. Então, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de $ u $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
A função $ u $ pode ser escrita como $ u = (x^2 + y^2 + z2){-1/2} $.
Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
De forma similar, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada uma das opções para ver qual delas é satisfeita pela função $ u $:
Opção 1:
Comparando $ u_x = -x(x^2 + y^2 + z2){-3/2} $ e $ u_z = -z(x^2 + y^2 + z2){-3/2} $, a igualdade só acontece se $ x = z $, o que não é uma condição geral. Então, essa opção não é verdadeira para qualquer ponto.
Opção 2:
Se considerarmos que talvez tenha sido um erro de digitação e deveria ser $ u_x + u_y + u_z = 0 $:
Isso não é igual a zero a menos que $ x + y + z = 0 $, o que também não é geral.
Opção 3:
Essa notação não está clara, provavelmente há um erro na formulação. Vamos pular essa opção.
Opção 4:
Vamos calcular $ u_{xx} $ e $ u_{zy} $.
Primeiro, $ u_{xx} $ é a derivada de $ u_x $ em relação a $ x $:
Aplicando a regra do produto:
Agora, $ u_{zy} $ é a derivada de $ u_z $ em relação a $ y $:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Não parece simplificar para zero de forma geral, então essa opção também não é válida.
Opção 5:
Mais uma vez, a notação não está clara, provavelmente há um erro na formulação. Vamos pular essa opção.
Resposta
Nenhuma das equações apresentadas é satisfeita pela função $ u(x, y, z) = \frac{1}{\sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}}} $.