Você viu no estudo de derivadas que a derivada de
é
. De acordo com o que vimos, então a integral de
deveria ser
. Como você justifica a presença do módulo no item (iii)?
Passo 1
Galera, a questão quer que a gente justifique porque, ao integrar \ $1/x$, aparece $\ln|x|$ em vez de só $\ln x$. O ponto é entender os dois casos: x positivo e x negativo.
Passo 2
Para x>0, a função $1/x$ está definida e a gente já sabe que
porque derivando $\ln x$ recuperamos $1/x$.
Passo 3
Mas para x<0, não podemos usar $\ln x$ (já que o log natural só existe para argumentos positivos). Então fazemos a substituição $u=-x$ que dá $du=-dx$ e $1/x = -1/u$. Aí
Podemos reescrever $-\ln(-x)+C_2$ como $\ln(-x)+C_3$.
Passo 4
Juntando os dois casos (x>0 e x<0) a forma unificada da primitiva é