Você viu no estudo de derivadas que a derivada de ln x é 1x. De acordo com o que vimos, então a integral de 1x deveria ser ln x. Como você justifica a presença do módulo no item (iii)?

Passo 1

Galera, a questão quer que a gente justifique porque, ao integrar \ $1/x$, aparece $\ln|x|$ em vez de só $\ln x$. O ponto é entender os dois casos: x positivo e x negativo.

Passo 2

Para x>0, a função $1/x$ está definida e a gente já sabe que
1/x
porque derivando $\ln x$ recuperamos $1/x$.

Passo 3

Mas para x<0, não podemos usar $\ln x$ (já que o log natural só existe para argumentos positivos). Então fazemos a substituição $u=-x$ que dá $du=-dx$ e $1/x = -1/u$. Aí
ln x
Podemos reescrever $-\ln(-x)+C_2$ como $\ln(-x)+C_3$.

Passo 4

Juntando os dois casos (x>0 e x<0) a forma unificada da primitiva é
integral 1x,dx = ln|x| + C

Resposta

ln|x| + C

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