Considere a função vetorial
, ao longo do segmento de reta
composto pelos pontos
, percorrido de
até
, em que
, e
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e a curva
é o segmento de reta de
até
, onde
e
. Pede-se calcular
percorrendo
no sentido de
para
. As informações relevantes são: as coordenadas de
e
, a expressão de
e a orientação do percurso.
Passo 2
Regra geral (fórmula): se uma curva
é parametrizada por
,
, então o integral de linha do campo
ao longo de
é
Aqui
é a derivada da parametrização (velocidade) e o produto escalar entre
e
dá a componente do campo na direção do deslocamento. O produto escalar em componentes obedece
Passo 3
Escolhemos uma parametrização simples do segmento
. Como o segmento está sobre o eixo
e
para todos os pontos, podemos usar
como parâmetro:
Aqui tomamos diretamente
variando de
(ponto
) até
(ponto
), respeitando a orientação
. (Alternativa: poderia usar
com
, dá o mesmo resultado.)
Passo 4
Calculamos o diferencial de posição
. Como
,
Ou seja,
na direção
e
.
Passo 5
Avaliamo(s) o campo
ao longo da curva (onde
). Ainda é
Aplicando o produto escalar com
e usando a regra do passo 2,
Passo 6
Montamos a integral com os limites de
de
a
:
Passo 7
Calculamos a primitiva e avaliamos nos limites. Uma antiderivada de
é
pois
. Agora avaliamos
Calculemos
e
:
Portanto
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo: mesmo percorrendo de
para
(sentido negativo em
), o integral deu um valor positivo
. Isso significa que, ao longo desse percurso, a componente do campo na direção do deslocamento acumulou um trabalho positivo total. Mandou bem por aguentar até aqui — você já sabe parametrizar, usar produto escalar e integrar!