I_{3}=\int_{C_{3}} \vec{h} \cdot d \vec{r}, ao longo do segmento de reta C_{3} composto pelos pontos A B, percorrido de A até B, em que A(1,0), e B(-1,0)
Passo 1
O enunciado pede para calcular I_{3}=\int_{C_{3}} \vec{h}\cdot d\vec{r}, onde a função vetorial é
o caminho C_{3} é o segmento de reta que vai de A(1,0) até B(-1,0) e a orientação é de A para B. Informações dadas que eu vou usar explicitamente:
A=(1,0),\qquad B=(-1,0),\qquad \text{o curva } C_{3} \text{ é o segmento de reta } AB,\qquad \vec{h}(x,y)=\big(x^{2}-y,\;x y^{2}\big).
Passo 2
Explicando a ferramenta que usamos (passo-a-passo, bem mastigado):
Para um campo vetorial \vec{F}(x,y)=P(x,y)\hat{\imath}+Q(x,y)\hat{\jmath} e uma curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
temos d\vec{r}=(x'(t)\,dt)\hat{\imath}+(y'(t)\,dt)\hat{\jmath}. O produto escalar dá
Verificação alternativa curta (mesma ideia, só mais direta): como sobre o segmento y=0 temos dy=0, a integral \int_{C_{3}}\vec{h}\cdot d\vec{r} reduz a
\int_{x=1}^{x=-1} x^{2}\,dx,
ou seja os limites vão de 1 a -1 porque a orientação é de A para B. Calculando: