Considere a função vetorial
\vec{h}(x)=\left(x^{2}-y\right) \hat{\imath}+x y^{2} \hat{\jmath} .
I_{3}=\int_{C_{3}} \vec{h} \cdot d \vec{r}, ao longo do segmento de reta C_{3} composto pelos pontos A B, percorrido de A até B, em que A(1,0), e B(-1,0)

Passo 1

O enunciado pede para calcular I_{3}=\int_{C_{3}} \vec{h}\cdot d\vec{r}, onde a função vetorial é
\vec{h}(x)=\left(x^{2}-y\right)\hat{\imath}+x y^{2}\hat{\jmath},
o caminho C_{3} é o segmento de reta que vai de A(1,0) até B(-1,0) e a orientação é de A para B. Informações dadas que eu vou usar explicitamente:
A=(1,0),\qquad B=(-1,0),\qquad \text{o curva } C_{3} \text{ é o segmento de reta } AB,\qquad \vec{h}(x,y)=\big(x^{2}-y,\;x y^{2}\big).é

Passo 2

Explicando a ferramenta que usamos (passo-a-passo, bem mastigado):
Para um campo vetorial \vec{F}(x,y)=P(x,y)\hat{\imath}+Q(x,y)\hat{\jmath} e uma curva C parametrizada por
\vec{r}(t)=(x(t),y(t)),\qquad t\in[a,b],
temos d\vec{r}=(x'(t)\,dt)\hat{\imath}+(y'(t)\,dt)\hat{\jmath}. O produto escalar dá
\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x(t),y(t))\,x'(t)\,dt+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\,dt.
Portanto a integral de linha é
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\big(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\big)\,dt.
O que cada coisa significa:
  • P e Q são as componentes do campo vetorial (a componente x e a componente y);
  • x'(t) e y'(t) são as derivadas da parametrização (velocidades nas direções x e y);
  • a integração em t percorre o caminho seguindo a orientação.

Passo 3

Parametrização do segmento de reta de A(1,0) até B(-1,0).
Uma parametrização linear simples é
x(t)=1-2t,\qquad y(t)=0,\qquad t\in[0,1].
Verificação rápida: para t=0 temos (x,y)=(1,0)=A e para t=1 temos (x,y)=(-1,0)=B. Calculo das derivadas:
x'(t)=-2,\qquad y'(t)=0.

Passo 4

Substituindo no integrando. As componentes do campo são P(x,y)=x^{2}-y e Q(x,y)=x y^{2}. Ao longo do caminho temos y(t)=0, então
P(x(t),y(t))=(x(t))^{2}-0=(x(t))^{2},\qquad Q(x(t),y(t))=x(t)\cdot 0^{2}=0.
Logo o integrando fica
P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)=(x(t))^{2}(-2)+0=-2(x(t))^{2}.
Portanto
I_{3}=\int_{0}^{1}-2\big(1-2t\big)^{2}\,dt.

Passo 5

Calcule a integral passo a passo. Expandindo o quadrado:
\big(1-2t\big)^{2}=1-4t+4t^{2}.
Multiplicando por -2:
-2\big(1-2t\big)^{2}=-2+8t-8t^{2}.
Integramos termo a termo em t de 0 a 1:
\int_{0}^{1}(-2)\,dt=-2t\Big|_{0}^{1}=-2,
\int_{0}^{1}8t\,dt=4t^{2}\Big|_{0}^{1}=4,
\int_{0}^{1}-8t^{2}\,dt=-\frac{8}{3}t^{3}\Big|_{0}^{1}=-\frac{8}{3}.
Somando:
I_{3}=-2+4-\frac{8}{3}=2-\frac{8}{3}=\frac{6-8}{3}=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Verificação alternativa curta (mesma ideia, só mais direta): como sobre o segmento y=0 temos dy=0, a integral \int_{C_{3}}\vec{h}\cdot d\vec{r} reduz a
\int_{x=1}^{x=-1} x^{2}\,dx,
ou seja os limites vão de 1 a -1 porque a orientação é de A para B. Calculando:
\int_{1}^{-1}x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{-1}=\frac{(-1)^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3},
que coincide com o resultado anterior. Bom trabalho — mesmo em pânico dá pra seguir o passo a passo e chegar no número final!

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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