Considere a função vetorial
\vec{h}(x)=\left(x^{2}-y\right) \hat{\imath}+x y^{2} \hat{\jmath} .
I=\int_{C_{1}} \vec{h} \cdot d \vec{r}, sobre a semi-circunferência C_{1} descrita pela equação cartesiana y=\sqrt{1-x^{2}}\, em que \(x \in[-1,1] (e y \geq 0 ), percorrida do ponto A(1,0) até o ponto B(-1,0))

Passo 1

O enunciado fornece:
\vec{h}(x,y)=\left(x^{2}-y\right)\hat{\imath}+x y^{2}\hat{\jmath}
A curva C_{1} é a semi-circunferência superior dada por
y=\sqrt{1-x^{2}},\quad x\in[-1,1],\; y\ge 0,
percorrida do ponto A(1,0) até o ponto B(-1,0). A quantidade pedida é
I=\int_{C_{1}}\vec{h}\cdot d\vec{r}.
Portanto: calcular o integral de linha do campo vetorial \vec{h} ao longo da semi-circunferência superior, com orientação de A para B.

Passo 2

Escolher uma parametrização apropriada para C_{1}. Como C_{1} é a semi-circunferência de raio 1 centrada na origem (parte superior), a parametrização natural é usar o parâmetro angular t:
\vec{r}(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t\bigr),\qquad t\in[0,\pi].
Explicação didática: a função \cos t varia de 1 a -1 quando t vai de 0 a \pi, e \sin t é não negativa nesse intervalo, então essa parametrização descreve exatamente a semi-circunferência superior do ponto A(1,0) até B(-1,0).

Passo 3

Calcular d\vec{r} e expressar x e y em função de t. Da parametrização temos
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
e
d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt=\bigl(-\sin t,\;\cos t\bigr)\,dt.
Também identificamos as componentes do campo na parametrização:
P(x,y)=x^{2}-y,\qquad Q(x,y)=x y^{2}.
Então o produto escalar será \vec{h}\cdot d\vec{r}=P\,dx+Q\,dy ou, em parámetros, P(x(t),y(t))\,x'(t)\,dt+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\,dt.

Passo 4

Substituir tudo em termos de t. Primeiro escrevo dx e dy:
dx = x'(t)\,dt = -\sin t\,dt,\qquad dy = y'(t)\,dt = \cos t\,dt.
Agora avalio P e Q com x=\cos t, y=\sin t:
P(\cos t,\sin t)=\cos^{2}t-\sin t,
Q(\cos t,\sin t)=\cos t\cdot\sin^{2}t.
Portanto o integrando fica
\vec{h}\cdot d\vec{r} = \bigl(\cos^{2}t-\sin t\bigr)(- \sin t\,dt) + \bigl(\cos t\sin^{2}t\bigr)(\cos t\,dt).

Passo 5

Simplificar o integrando passo a passo:
\begin{aligned} \vec{h}\cdot d\vec{r} &= -\cos^{2}t\sin t + \sin^{2}t + \cos^{2}t\sin^{2}t \; \; dt. \end{aligned}
Logo o integral é
I=\int_{0}^{\pi}\Bigl(-\cos^{2}t\sin t + \sin^{2}t + \cos^{2}t\sin^{2}t\Bigr)\,dt.
Estratégia didática: é conveniente separar em três integrais mais simples e calcular cada um.

Passo 6

Separar em três integrais:
I = I_{1}+I_{2}+I_{3},
onde
I_{1}=-\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt,
I_{2}=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt,
I_{3}=\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt.

Passo 7

Calcular I_{1} por substituição. Faça u=\cos t, então du=-\sin t\,dt ou \sin t\,dt=-du. Assim
I_{1}=-\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin t\,dt = -\int_{t=0}^{t=\pi} u^{2}(\sin t\,dt).
Substituindo \sin t\,dt=-du obtemos
I_{1}=-\int_{u=1}^{u=-1} u^{2}(-du)=\int_{1}^{-1} u^{2}\,du.
Inverter os limites para ficar na ordem crescente:
I_{1}=-\int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
Calcule a integral:
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}.
Portanto
I_{1}=-\frac{2}{3}.
(Observação: começando direto com antiderivada em t, notamos que a primitiva de -\cos^{2}t\sin t é \frac{\cos^{3}t}{3}, o que dá o mesmo resultado \frac{\cos^{3}t}{3}\Big|_{0}^{\pi} = (-1-1)/3 = -2/3.)

Passo 8

Calcular I_{2} usando identidade trigonométrica. Use \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Então
I_{2}=\int_{0}^{\pi}\sin^{2}t\,dt=\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 2t}{2}\,dt=\left[\frac{t}{2}-\frac{\sin 2t}{4}\right]_{0}^{\pi}.
Avaliando os limites:
I_{2}=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.

Passo 9

Calcular I_{3} usando outra identidade. Note que
\sin^{2}t\cos^{2}t=\frac{\sin^{2}2t}{4},
porque \sin 2t=2\sin t\cos t. Portanto
I_{3}=\int_{0}^{\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\sin^{2}2t\,dt.
Use \sin^{2}2t=\dfrac{1-\cos 4t}{2}:
I_{3}=\frac{1}{4}\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos 4t}{2}\,dt=\frac{1}{8}\int_{0}^{\pi} (1-\cos 4t)\,dt =\frac{1}{8}\left[t-\frac{\sin 4t}{4}\right]_{0}^{\pi}.
Avaliando:
I_{3}=\frac{1}{8}\left(\pi-0\right)=\frac{\pi}{8}.

Passo 10

Somar as três contribuições:
I = I_{1}+I_{2}+I_{3} = \left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}.
Agrupando os termos com \pi:
\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{4\pi}{8}+\frac{\pi}{8}=\frac{5\pi}{8}.
Portanto
I=\frac{5\pi}{8}-\frac{2}{3}.
Colocando em denominador comum 24 (opcional para “fechar” a forma racional):
I=\frac{15\pi-16}{24}.

Resposta

\dfrac{15\pi-16}{24}

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