I=\int_{C_{1}} \vec{h} \cdot d \vec{r}, sobre a semi-circunferência C_{1} descrita pela equação cartesiana y=\sqrt{1-x^{2}}\, em que \(x \in[-1,1] (e y \geq 0 ), percorrida do ponto A(1,0) até o ponto B(-1,0))
A curva C_{1} é a semi-circunferência superior dada por
y=\sqrt{1-x^{2}},\quad x\in[-1,1],\; y\ge 0,
percorrida do ponto A(1,0) até o ponto B(-1,0). A quantidade pedida é
I=\int_{C_{1}}\vec{h}\cdot d\vec{r}.
Portanto: calcular o integral de linha do campo vetorial \vec{h} ao longo da semi-circunferência superior, com orientação de A para B.
Passo 2
Escolher uma parametrização apropriada para C_{1}. Como C_{1} é a semi-circunferência de raio 1 centrada na origem (parte superior), a parametrização natural é usar o parâmetro angular t:
Explicação didática: a função \cos t varia de 1 a -1 quando t vai de 0 a \pi, e \sin t é não negativa nesse intervalo, então essa parametrização descreve exatamente a semi-circunferência superior do ponto A(1,0) até B(-1,0).
Passo 3
Calcular d\vec{r} e expressar x e y em função de t. Da parametrização temos
(Observação: começando direto com antiderivada em t, notamos que a primitiva de -\cos^{2}t\sin t é \frac{\cos^{3}t}{3}, o que dá o mesmo resultado \frac{\cos^{3}t}{3}\Big|_{0}^{\pi} = (-1-1)/3 = -2/3.)
Passo 8
Calcular I_{2} usando identidade trigonométrica. Use \sin^{2}t=\dfrac{1-\cos 2t}{2}. Então