Considere a função vetorial
ao longo da linha poligonal
composta pelos pontos AMB, em que
e
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
ao longo da linha poligonal
formada pelos pontos
,
e
. A orientação implícita é o caminho
.
Informações dadas:
O caminho
é a união de dois segmentos retos:
onde
é o segmento de
até
e
é o segmento de
até
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada por
,
, é dada por
Aqui
é o vetor velocidade; o produto escalar
gera uma função de
que integrarmos no intervalo do parâmetro. Vou parametrizar cada segmento por um parâmetro
(escolha comum e prática para segmentos) e somar as contribuições dos dois segmentos.
Passo 3
Parametrização do segmento
.
Escolho
Escolho
Então
ou seja
e
. Substituo na expressão do campo:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
O produto escalar com
é
Agora simplifico term a termo:
Expando
e
. Assim:
Reagrupando:
Portanto a integral sobre o primeiro segmento é
Passo 5
Calculo da integral do primeiro segmento:
Fazendo as contas:
Logo contribuição do segmento
é
.
Passo 6
Parametrização do segmento
.
Escolho
Escolho
Então
Substituo no campo:
Passo 7
Calcular
passo a passo:
pois
. O produto escalar com
é
Simplifico o segundo termo:
. Então o integrando fica
Removendo parênteses:
Cancelam os
e
, sobrando
Portanto a integral sobre o segundo segmento é
Passo 8
Calculo da integral do segundo segmento:
Então contribuição do segmento
é
.
Passo 9
Somando as contribuições dos dois segmentos (porque a integral ao longo de uma curva poligonal é a soma das integrais em cada ramo parametrizado):