Considere a função vetorial
\vec{h}(x)=\left(x^{2}-y\right) \hat{\imath}+x y^{2} \hat{\jmath} .
I_{2}=\int_{C_{2}} \vec{h} \cdot d \vec{r} ao longo da linha poligonal C_{2} composta pelos pontos AMB, em que A(1,0), M(0,1) e B(-1,0)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
I_{2}=\int_{C_{2}} \vec{h}\cdot d\vec{r}
ao longo da linha poligonal C_{2} formada pelos pontos A(1,0), M(0,1) e B(-1,0). A orientação implícita é o caminho A\to M\to B.
Informações dadas:
\vec{h}(x,y)=\left(x^{2}-y\right)\hat{\imath}+x y^{2}\hat{\jmath}.
O caminho C_{2} é a união de dois segmentos retos: C_{2}=C_{1}\cup C_{2}' onde C_{1} é o segmento de A até M e C_{2}' é o segmento de M até B.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a integral de linha de um campo vetorial \vec{h}(x,y) ao longo de uma curva parametrizada por \vec{r}(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], é dada por
\int_{C}\vec{h}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{h}\big(x(t),y(t)\big)\cdot \vec{r}\,'(t)\,dt.
Aqui \vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t)) é o vetor velocidade; o produto escalar \vec{h}\cdot\vec{r}\,' gera uma função de t que integrarmos no intervalo do parâmetro. Vou parametrizar cada segmento por um parâmetro t\in[0,1] (escolha comum e prática para segmentos) e somar as contribuições dos dois segmentos.

Passo 3

Parametrização do segmento A(1,0)\to M(0,1).
Escolho
\vec{r}_1(t)=(x_1(t),y_1(t))=(1-t,\;t),\qquad t\in[0,1].
Então
\vec{r}_1'(t)=(-1,\;1),
ou seja dx=-dt e dy=dt. Substituo na expressão do campo:
x=1-t,\qquad y=t.

Passo 4

Calcular \vec{h}\big(x_1(t),y_1(t)\big)\cdot \vec{r}_1'(t) passo a passo:
\vec{h}\big(x_1,y_1\big)=\big((1-t)^2-t,\; (1-t)\,t^2\big).
O produto escalar com \vec{r}_1' =(-1,1) é
\big((1-t)^2-t\big)(-1)+\big((1-t)t^2\big)(1).
Agora simplifico term a termo:
-(1-t)^2 + t + (1-t)t^2.
Expando (1-t)^2=1-2t+t^2 e (1-t)t^2=t^2 - t^3. Assim:
- (1-2t+t^2) + t + t^2 - t^3 = -1 +2t - t^2 + t + t^2 - t^3.
Reagrupando:
-1 + 3t - t^3.
Portanto a integral sobre o primeiro segmento é
\int_{0}^{1}\big(-1+3t - t^3\big)\,dt.

Passo 5

Calculo da integral do primeiro segmento:
\int_{0}^{1}\big(-1+3t - t^3\big)\,dt = \Big[-t+\tfrac{3}{2}t^2-\tfrac{1}{4}t^4\Big]_{0}^{1} = -1+\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{4}.
Fazendo as contas:
-1+\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{4} = -1 + 1{,}5 - 0{,}25 = 0{,}25 = \tfrac{1}{4}.
Logo contribuição do segmento A\to M é \tfrac{1}{4}.

Passo 6

Parametrização do segmento M(0,1)\to B(-1,0).
Escolho
\vec{r}_2(t)=(x_2(t),y_2(t))=(-t,\;1-t),\qquad t\in[0,1].
Então
\vec{r}_2'(t)=(-1,\,-1).
Substituo no campo:
x=-t,\qquad y=1-t.

Passo 7

Calcular \vec{h}\big(x_2(t),y_2(t)\big)\cdot \vec{r}_2'(t) passo a passo:
\vec{h}\big(x_2,y_2\big)=\big(x^2-y,\; x y^2\big)=\big(t^2-(1-t),\;(-t)(1-t)^2\big),
pois x^2=(-t)^2=t^2. O produto escalar com (-1,-1) é
-\big(t^2-(1-t)\big) - \big((-t)(1-t)^2\big).
Simplifico o segundo termo: (-t)(1-t)^2 = -t(1-2t+t^2) = -t +2t^2 - t^3. Então o integrando fica
- t^2 + (1-t) - \big(-t +2t^2 - t^3\big).
Removendo parênteses:
- t^2 +1 - t + t -2t^2 + t^3.
Cancelam os -t e +t, sobrando
1 - 3t^2 + t^3.
Portanto a integral sobre o segundo segmento é
\int_{0}^{1}\big(1-3t^2 + t^3\big)\,dt.

Passo 8

Calculo da integral do segundo segmento:
\int_{0}^{1}\big(1-3t^2 + t^3\big)\,dt = \Big[t - t^3 + \tfrac{1}{4}t^4\Big]_{0}^{1} = 1 - 1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}.
Então contribuição do segmento M\to B é \tfrac{1}{4}.

Passo 9

Somando as contribuições dos dois segmentos (porque a integral ao longo de uma curva poligonal é a soma das integrais em cada ramo parametrizado):
I_{2}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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