Considere a função vetorial: \vec{r}(\theta)=\cos \theta \vec{i}+3 e^{2 \theta} \vec{j}+3 e^{-\theta} \vec{k}. Encontre a reta tangente à curva dada por \vec{r}(\theta) no ponto (1,3,3).

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{r}(\theta)=\cos\theta\,\vec{i}+3e^{2\theta}\,\vec{j}+3e^{-\theta}\,\vec{k}
e pede: encontre a reta tangente à curva dada por \vec{r}(\theta) no ponto (1,3,3).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Função: }\vec{r}(\theta)=\cos\theta\,\vec{i}+3e^{2\theta}\,\vec{j}+3e^{-\theta}\,\vec{k}çã
\text{Ponto onde queremos a reta tangente: }(1,3,3).

Passo 2

Primeiro precisamos achar o valor do parâmetro \theta que gera exatamente o ponto dado. Igualamos componente a componente:
\cos\theta = 1,
3e^{2\theta}=3,
3e^{-\theta}=3.
Dividindo as últimas duas por 3 obtemos
e^{2\theta}=1,\qquad e^{-\theta}=1.
Para números reais, e^{2\theta}=1 e e^{-\theta}=1 implicam que \theta=0 (porque a função exponencial é 1 só em \theta=0). Verificando a primeira equação, \cos 0=1, então todas as três componentes coincidem em \theta=0. Portanto o parâmetro do ponto é
\theta_0=0.

Passo 3

Agora vamos calcular o vetor velocidade (derivada) \vec{r}'(\theta). Derivamos cada componente separadamente. Lembretes úteis:
  • A derivada de \cos\theta em relação a \theta é -\sin\theta.
  • A derivada de e^{a\theta} em relação a \theta é a e^{a\theta} (regra da cadeia). Por exemplo, \frac{d}{d\theta}e^{2\theta}=2e^{2\theta}.
Aplicando isso:
\vec{r}'(\theta)=\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)\,\vec{i}+\frac{d}{d\theta}(3e^{2\theta})\,\vec{j}+\frac{d}{d\theta}(3e^{-\theta})\,\vec{k}.
Calculando cada derivada:
\frac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta,
\frac{d}{d\theta}(3e^{2\theta})=3\cdot 2 e^{2\theta}=6e^{2\theta},
\frac{d}{d\theta}(3e^{-\theta})=3\cdot(-1)e^{-\theta}=-3e^{-\theta}.
Logo
\vec{r}'(\theta)=-\sin\theta\,\vec{i}+6e^{2\theta}\,\vec{j}-3e^{-\theta}\,\vec{k}.

Passo 4

Avaliamos \vec{r}'(\theta) em \theta_0=0:
\vec{r}'(0)=-\sin 0\,\vec{i}+6e^{0}\,\vec{j}-3e^{0}\,\vec{k}.
Como \sin 0=0 e e^{0}=1, obtemos
\vec{r}'(0)=0\,\vec{i}+6\,\vec{j}-3\,\vec{k}.
Podemos simplificar o vetor direção multiplicando por 1/3; qualquer múltiplo não nulo dá a mesma reta. Assim um vetor direção mais simples é
\vec{v}=(0,2,-1).

Passo 5

A reta tangente à curva no ponto correspondente a \theta_0 é a reta que passa por \vec{r}(\theta_0) e tem direção \vec{r}'(\theta_0). A forma vetorial geral da reta é
\vec{\ell}(t)=\vec{r}(\theta_0)+t\,\vec{v},
onde t é o parâmetro da reta e \vec{v} é um vetor diretor não nulo. Aqui \vec{r}(\theta_0)=(1,3,3) (porque o ponto dado é gerado em \theta_0=0) e \vec{v}=(0,2,-1). Vamos usar isso para escrever a reta explicitamente na forma paramétrica.

Resposta

\vec{\ell}(t)=(1,3,3)+t(0,2,-1)
x=1,\qquad y=3+2t,\qquad z=3-t

Exercícios relacionados