Considere a função vetorial:
. Encontre a reta tangente à curva dada por
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede: encontre a reta tangente à curva dada por
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Primeiro precisamos achar o valor do parâmetro
que gera exatamente o ponto dado. Igualamos componente a componente:
Dividindo as últimas duas por
obtemos
Para números reais,
e
implicam que
(porque a função exponencial é
só em
). Verificando a primeira equação,
, então todas as três componentes coincidem em
. Portanto o parâmetro do ponto é
Passo 3
Agora vamos calcular o vetor velocidade (derivada)
. Derivamos cada componente separadamente. Lembretes úteis:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é (regra da cadeia). Por exemplo, .
Aplicando isso:
Calculando cada derivada:
Logo
Passo 4
Avaliamos
em
:
Como
e
, obtemos
Podemos simplificar o vetor direção multiplicando por
; qualquer múltiplo não nulo dá a mesma reta. Assim um vetor direção mais simples é
Passo 5
A reta tangente à curva no ponto correspondente a
é a reta que passa por
e tem direção
. A forma vetorial geral da reta é
onde
é o parâmetro da reta e
é um vetor diretor não nulo. Aqui
(porque o ponto dado é gerado em
) e
. Vamos usar isso para escrever a reta explicitamente na forma paramétrica.