Dados
e
anéis, defina em
as operações de adição e multiplicação como:
e
Mostre que (
, .) é um anel. Chamamos esse anel de anel produto direto. Ainda, mostre que:
a) Se
e
tem unidade, então (
. ) tem unidade;
b) Se
e
são comutativos, então
.
a) Se
b) Se
Passo 1
O enunciado define em
as operações
e
onde
e
são anéis dados. O que o problema pede explicitamente:
- Mostrar que o conjunto
com essas operações é um anel (isto é, verificar os axiomas que definem um anel). - (a) Mostrar que, se
e têm unidade multiplicativa (digamos e ), então também tem unidade. - (b) Mostrar que, se
e são comutativos (para a multiplicação), então é comutativo.
Informações relevantes dadas:
e
são anéis (portanto sabemos que em cada um deles a adição forma um grupo abeliano, a multiplicação é associativa e a multiplicação distribui sobre a adição). Nada mais será assumido além disso.
Passo 2
O que temos de provar, detalhado em termos de axiomas de anel (forma que vou usar):
-
é um grupo abeliano: isto exige fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo e inversos aditivos, e comutatividade. - A multiplicação em
é fechada e associativa. - A multiplicação distribui à esquerda e à direita sobre a adição em
.
Vou provar cada ponto usando apenas as propriedades conhecidas dos anéis
e
. Sempre que eu usar uma propriedade (por exemplo, associatividade da adição em
), eu a explicito.
Passo 3
Fechamento e associatividade da adição em
.
- Fechamento: tome
. Pela definição,
Como
é fechado em sua adição
, temos
. Como
é fechado em sua adição
, temos
. Logo
. Portanto a adição está fechada.
- Associatividade: tome
. Calcule
Pela definição de soma em
,
Como a adição em
é associativa,
. Como a adição em
é associativa,
. Assim
De modo análogo,
Portanto
, mostrando a associatividade da adição em
.
Passo 4
Elemento neutro aditivo e inversos aditivos em
; comutatividade da adição.
- Elemento neutro aditivo: em
existe o neutro aditivo tal que para todo . Em existe tal que para todo . Considere o par . Para qualquer ,
Analogamente
. Logo
é o elemento neutro aditivo em
.
- Inverso aditivo: para
, em existe o inverso aditivo tal que ; em existe tal que . Então
Logo
é o inverso aditivo de
em
.
- Comutatividade: para
,
pois a adição em
e em
é comutativa. Assim
é um grupo abeliano.
Passo 5
Fechamento e associatividade da multiplicação em
.
- Fechamento: para
,
Como
é fechado sob
e
é fechado sob
, segue que
. Logo a multiplicação está fechada.
- Associatividade: para
,
Pela associatividade da multiplicação em
e em
,
Portanto
Analogamente
dá o mesmo par. Então a multiplicação é associativa em
.
Passo 6
Distributividade da multiplicação sobre a adição (esquerda e direita).
- Distributividade à esquerda: para
,
Então
Em
a multiplicação
distribui sobre a adição
, isto é,
Em
a multiplicação
distribui sobre
, isto é,
Portanto
Mas isto é exatamente
Logo a distributividade à esquerda vale.
- Distributividade à direita: análogo. Calculando
Pelas propriedades em
e
,
Assim
Portanto a distributividade à direita também vale.
Passo 7
Conclusão parcial:
satisfaz os axiomas de anel.
Reunindo os resultados dos passos anteriores temos:
-
é grupo abeliano com neutro e inversos . - A multiplicação em
é fechada, associativa e distribui sobre a adição à esquerda e à direita.
Portanto
é um anel — justamente o anel produto direto.
Passo 8
Parte (a): unidade multiplicativa em
quando
e
têm unidade.
Suponha que
tem unidade multiplicativa
(ou seja, para todo
,
) e
tem unidade
(ou seja, para todo
,
). Considere o par
. Para qualquer
,
e
Logo
é a unidade multiplicativa de
. Assim, se
e
têm unidade, o produto direto também tem unidade.
Passo 9
Parte (b): comutatividade da multiplicação em
.
Suponha que as multiplicações em
e em
sejam comutativas, isto é, para todo
tem-se
, e para todo
tem-se
. Então para quaisquer
,
Portanto a multiplicação em
é comutativa. Assim, se
e
são comutativos, o produto direto também é comutativo.
Resposta
O conjunto
com as operações dadas é um anel (o anel produto direto).
a) Se e
têm unidades
e
, então
é a unidade multiplicativa de
.
b) Se e
são comutativos (na multiplicação), então
é comutativo.
a) Se
b) Se