Dados (A, *, \triangle) e (B, \oplus, \odot) anéis, defina em A \times B as operações de adição e multiplicação como:
(a, b)+(c, d)=(a * c, b \oplus d)
e
(a, b) \cdot(c, d)=(a \triangle c, b \odot d)
Mostre que ( A \times B,+, .) é um anel. Chamamos esse anel de anel produto direto. Ainda, mostre que:
a) Se (A, *, \triangle) e (B, \oplus, \odot) tem unidade, então ( A \times B,+,. ) tem unidade;
b) Se (A, *, \triangle) e (B, \oplus, \odot) são comutativos, então (A \times B,+,. ) é comutativo.é

Passo 1

O enunciado define em A\times B as operações
(a,b)+(c,d)=(a * c,\; b \oplus d)
e
(a,b)\cdot(c,d)=(a \triangle c,\; b \odot d),
onde (A,*,\triangle) e (B,\oplus,\odot) são anéis dados. O que o problema pede explicitamente:
  1. Mostrar que o conjunto A\times B com essas operações é um anel (isto é, verificar os axiomas que definem um anel).
  2. (a) Mostrar que, se A e B têm unidade multiplicativa (digamos 1_A e 1_B), então A\times B também tem unidade.
  3. (b) Mostrar que, se A e B são comutativos (para a multiplicação), então A\times B é comutativo.
Informações relevantes dadas: (A,*,\triangle) e (B,\oplus,\odot) são anéis (portanto sabemos que em cada um deles a adição forma um grupo abeliano, a multiplicação é associativa e a multiplicação distribui sobre a adição). Nada mais será assumido além disso.

Passo 2

O que temos de provar, detalhado em termos de axiomas de anel (forma que vou usar):
  1. (A\times B,+) é um grupo abeliano: isto exige fechamento, associatividade, elemento neutro aditivo e inversos aditivos, e comutatividade.
  2. A multiplicação em A\times B é fechada e associativa.
  3. A multiplicação distribui à esquerda e à direita sobre a adição em A\times B.
Vou provar cada ponto usando apenas as propriedades conhecidas dos anéis A e B. Sempre que eu usar uma propriedade (por exemplo, associatividade da adição em A), eu a explicito.

Passo 3

Fechamento e associatividade da adição em A\times B.
  • Fechamento: tome (a,b),(c,d)\in A\times B. Pela definição,
(a,b)+(c,d)=(a * c,\; b \oplus d).
Como A é fechado em sua adição *, temos a * c\in A. Como B é fechado em sua adição \oplus, temos b \oplus d\in B. Logo (a * c,\; b \oplus d)\in A\times B. Portanto a adição está fechada.
  • Associatividade: tome (a,b),(c,d),(e,f)\in A\times B. Calcule
\bigl((a,b)+(c,d)\bigr)+(e,f) = \bigl((a * c),\; (b \oplus d)\bigr)+(e,f).
Pela definição de soma em A\times B,
\bigl((a * c),\; (b \oplus d)\bigr)+(e,f)=\bigl((a * c) * e,\; (b \oplus d)\oplus f\bigr).
Como a adição em A é associativa, (a * c) * e = a * (c * e). Como a adição em B é associativa, (b \oplus d)\oplus f = b \oplus (d \oplus f). Assim
\bigl((a,b)+(c,d)\bigr)+(e,f)=\bigl(a * (c * e),\; b \oplus (d \oplus f)\bigr).
De modo análogo,
(a,b)+\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=\bigl(a * (c * e),\; b \oplus (d \oplus f)\bigr).
Portanto \bigl((a,b)+(c,d)\bigr)+(e,f)=(a,b)+\bigl((c,d)+(e,f)\bigr), mostrando a associatividade da adição em A\times B.

Passo 4

Elemento neutro aditivo e inversos aditivos em A\times B; comutatividade da adição.
  • Elemento neutro aditivo: em A existe o neutro aditivo 0_A tal que a * 0_A = a para todo a\in A. Em B existe 0_B tal que b \oplus 0_B = b para todo b\in B. Considere o par (0_A,0_B). Para qualquer (a,b)\in A\times B,
(a,b)+(0_A,0_B)=(a * 0_A,\; b \oplus 0_B)=(a,b).
Analogamente (0_A,0_B)+(a,b)=(a,b). Logo (0_A,0_B) é o elemento neutro aditivo em A\times B.
  • Inverso aditivo: para (a,b)\in A\times B, em A existe o inverso aditivo -_A a tal que a * (-_A a)=0_A; em B existe -_B b tal que b \oplus (-_B b)=0_B. Então
(a,b)+(-_A a,\,-_B b)=(a * (-_A a),\; b \oplus (-_B b))=(0_A,0_B).
Logo (-_A a,\,-_B b) é o inverso aditivo de (a,b) em A\times B.
  • Comutatividade: para (a,b),(c,d)\in A\times B,
(a,b)+(c,d)=(a * c,\; b \oplus d)=(c * a,\; d \oplus b)=(c,d)+(a,b),
pois a adição em A e em B é comutativa. Assim (A\times B,+) é um grupo abeliano.

Passo 5

Fechamento e associatividade da multiplicação em A\times B.
  • Fechamento: para (a,b),(c,d)\in A\times B,
(a,b)\cdot(c,d)=(a \triangle c,\; b \odot d).
Como A é fechado sob \triangle e B é fechado sob \odot, segue que (a \triangle c,\; b \odot d)\in A\times B. Logo a multiplicação está fechada.
  • Associatividade: para (a,b),(c,d),(e,f)\in A\times B,
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=\bigl((a \triangle c),\; (b \odot d)\bigr)\cdot(e,f)=\bigl((a \triangle c)\triangle e,\; (b \odot d)\odot f\bigr).
Pela associatividade da multiplicação em A e em B,
(a \triangle c)\triangle e = a \triangle (c \triangle e), \qquad (b \odot d)\odot f = b \odot (d \odot f).
Portanto
\bigl((a,b)\cdot(c,d)\bigr)\cdot(e,f)=\bigl(a \triangle (c \triangle e),\; b \odot (d \odot f)\bigr).
Analogamente (a,b)\cdot\bigl((c,d)\cdot(e,f)\bigr) dá o mesmo par. Então a multiplicação é associativa em A\times B.

Passo 6

Distributividade da multiplicação sobre a adição (esquerda e direita).
  • Distributividade à esquerda: para (a,b),(c,d),(e,f)\in A\times B,
(c,d)+(e,f)=(c * e,\; d \oplus f).
Então
(a,b)\cdot\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=(a,b)\cdot(c * e,\; d \oplus f)=(a \triangle (c * e),\; b \odot (d \oplus f)).
Em A a multiplicação \triangle distribui sobre a adição *, isto é,
a \triangle (c * e) = (a \triangle c)\; *\; (a \triangle e).
Em B a multiplicação \odot distribui sobre \oplus, isto é,
b \odot (d \oplus f) = (b \odot d)\; \oplus\; (b \odot f).
Portanto
(a,b)\cdot\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)=\bigl((a \triangle c)\; *\; (a \triangle e),\; (b \odot d)\; \oplus\; (b \odot f)\bigr).
Mas isto é exatamente
(a,b)\cdot(c,d)+(a,b)\cdot(e,f).
Logo a distributividade à esquerda vale.
  • Distributividade à direita: análogo. Calculando
\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)\cdot(a,b)=( (c * e)\triangle a,\; (d \oplus f)\odot b ).
Pelas propriedades em A e B,
(c * e)\triangle a = (c\triangle a)\; *\; (e\triangle a), \qquad (d \oplus f)\odot b = (d\odot b)\; \oplus\; (f\odot b).
Assim
\bigl((c,d)+(e,f)\bigr)\cdot(a,b)=(c,d)\cdot(a,b)+(e,f)\cdot(a,b).
Portanto a distributividade à direita também vale.

Passo 7

Conclusão parcial: (A\times B,+,\cdot) satisfaz os axiomas de anel.
Reunindo os resultados dos passos anteriores temos:
  • (A\times B,+) é grupo abeliano com neutro (0_A,0_B) e inversos (-_A a,\,-_B b).
  • A multiplicação em A\times B é fechada, associativa e distribui sobre a adição à esquerda e à direita.
Portanto (A\times B,+,\cdot) é um anel — justamente o anel produto direto.

Passo 8

Parte (a): unidade multiplicativa em A\times B quando A e B têm unidade.
Suponha que A tem unidade multiplicativa 1_A (ou seja, para todo a\in A, 1_A\triangle a = a = a\triangle 1_A) e B tem unidade 1_B (ou seja, para todo b\in B, 1_B\odot b = b = b\odot 1_B). Considere o par (1_A,1_B). Para qualquer (a,b)\in A\times B,
(1_A,1_B)\cdot(a,b)=(1_A\triangle a,\; 1_B\odot b)=(a,b),
e
(a,b)\cdot(1_A,1_B)=(a\triangle 1_A,\; b\odot 1_B)=(a,b).
Logo (1_A,1_B) é a unidade multiplicativa de A\times B. Assim, se A e B têm unidade, o produto direto também tem unidade.

Passo 9

Parte (b): comutatividade da multiplicação em A\times B.
Suponha que as multiplicações em A e em B sejam comutativas, isto é, para todo a,c\in A tem-se a\triangle c = c\triangle a, e para todo b,d\in B tem-se b\odot d = d\odot b. Então para quaisquer (a,b),(c,d)\in A\times B,
(a,b)\cdot(c,d)=(a\triangle c,\; b\odot d)=(c\triangle a,\; d\odot b)=(c,d)\cdot(a,b).
Portanto a multiplicação em A\times B é comutativa. Assim, se A e B são comutativos, o produto direto também é comutativo.

Resposta

O conjunto A\times B com as operações dadas é um anel (o anel produto direto).
a) Se A e B têm unidades 1_A e 1_B, então (1_A,1_B) é a unidade multiplicativa de A\times B.
b) Se A e B são comutativos (na multiplicação), então A\times B é comutativo.

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