Determine os pontos do elipsóide
que se encontram mais próximo da origem em
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície do elipsóide
e pede: determinar os pontos dessa superfície que estão mais próximos da origem em
.
Informações relevantes fornecidas:
- A superfície é o conjunto de pontos
que satisfazem . - A origem é o ponto
. - “Mais próximos” significa minimizar a distância da origem até um ponto
que esteja sobre a superfície.
Passo 2
Por que minimizar a distância ao quadrado em vez da distância direta?
Se a distância entre a origem e um ponto é
Se a distância entre a origem e um ponto
minimizar
é equivalente a minimizar
, porque a raiz quadrada é uma função estritamente crescente para argumentos não-negativos. Trabalhar com
evita a raiz e simplifica as contas. Portanto, definimos a função objetivo
que queremos minimizar sujeita à restrição
Passo 3
Apresentação do método a usar (intuição e ideia):
Usaremos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de mínimo restrito, o gradiente da função objetivo é paralelo ao gradiente da restrição. Escrevendo para o multiplicador, essa condição é
Usaremos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de mínimo restrito, o gradiente da função objetivo é paralelo ao gradiente da restrição. Escrevendo
junto com a própria restrição
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 4
Calcular os gradientes
e
.
Derivando coordenada a coordenada:
Passo 5
Escrever as equações de Lagrange. A condição
fornece o sistema
além da restrição
Passo 6
Simplificar as equações de Lagrange (dividindo por
quando possível):
Cada equação dá duas possibilidades: ou a coordenada é zero, ou podemos dividir por ela e obter uma condição sobre
. Vou analisar os casos combinando essas possibilidades.
Passo 7
Analisar o caso em que todas as coordenadas são diferentes de zero.
Se , da primeira equação obtemos
Se
Se
, da segunda obtemos
Se
, da terceira obtemos
Esses três valores de
são incompatíveis entre si, então não existe solução com
,
e
todos não nulos.
Passo 8
Analisar casos em que exatamente uma coordenada é não nula (os outros dois são zero). Esses casos costumam aparecer em elipsoides porque os eixos principais são candidatos naturais.
Caso (i):
e
,
.
A restrição vira , logo
A restrição vira
Portanto obtemos os pontos
. A distância ao quadrado é
.
Caso (ii):
e
,
.
A restrição vira , logo
A restrição vira
Pontos
. Distância ao quadrado
.
Caso (iii):
e
,
.
A restrição vira , logo
A restrição vira
Pontos
. Distância ao quadrado
.
Passo 9
Analisar casos em que exatamente duas coordenadas são não nulas (uma zero). Mostramos rapidamente que eles não dão solução compatível:
Suponha
e
e
. Então das equações de Lagrange teríamos
(por
) e
(por
), contradição. Portanto não há solução com
e
não nulos simultaneamente.
Suponha
e
e
. Então
e
, contradição.
Suponha
e
e
. Então
e
, contradição.
Portanto as únicas possibilidades viáveis são as do Passo 8 (apenas uma coordenada não nula).
Passo 10
Comparar as distâncias encontradas para escolher os pontos mais próximos:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
A menor dessas é
, correspondente aos pontos
. Isso significa que a menor distância da origem ao elipsóide é
, atingida nos pontos indicados.
Passo 11
Interpretação geométrica rápida (ajuda a decorar): os semi-eixos do elipsóide são
ao longo de
,
ao longo de
, e
ao longo de
. Como a origem está no centro do elipsoide, o ponto mais próximo da origem é o ponto no eixo correspondente ao menor semi-eixo, isto é,
no eixo
. Isso confirma o resultado algébrico.