Determine os pontos do elipsóide
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+4 z^{2}=1
que se encontram mais próximo da origem em \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a superfície do elipsóide
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+4 z^{2}=1
e pede: determinar os pontos dessa superfície que estão mais próximos da origem em \mathbb{R}^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+4 z^{2}=1.
  • A origem é o ponto (0,0,0).
  • “Mais próximos” significa minimizar a distância da origem até um ponto (x,y,z) que esteja sobre a superfície.

Passo 2

Por que minimizar a distância ao quadrado em vez da distância direta?
Se a distância entre a origem e um ponto (x,y,z) é
d(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},
minimizar d é equivalente a minimizar d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, porque a raiz quadrada é uma função estritamente crescente para argumentos não-negativos. Trabalhar com d^{2} evita a raiz e simplifica as contas. Portanto, definimos a função objetivo
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2},
que queremos minimizar sujeita à restrição
g(x,y,z)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+4 z^{2}-1=0.

Passo 3

Apresentação do método a usar (intuição e ideia):
Usaremos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto de mínimo restrito, o gradiente da função objetivo é paralelo ao gradiente da restrição. Escrevendo \lambda para o multiplicador, essa condição é
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z),
junto com a própria restrição g(x,y,z)=0. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 4

Calcular os gradientes \nabla f e \nabla g.
Derivando coordenada a coordenada:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2x,2y,2z).
\nabla g(x,y,z)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)=\left(\frac{2x}{9},\frac{2y}{4},8z\right).

Passo 5

Escrever as equações de Lagrange. A condição \nabla f=\lambda\nabla g fornece o sistema
2x=\lambda\cdot\frac{2x}{9},
2y=\lambda\cdot\frac{2y}{4},
2z=\lambda\cdot 8z,
além da restrição
\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}+4 z^{2}=1.

Passo 6

Simplificar as equações de Lagrange (dividindo por 2 quando possível):
x=\lambda\cdot\frac{x}{9},
y=\lambda\cdot\frac{y}{4},
z=4\lambda\,z.
Cada equação dá duas possibilidades: ou a coordenada é zero, ou podemos dividir por ela e obter uma condição sobre \lambda. Vou analisar os casos combinando essas possibilidades.

Passo 7

Analisar o caso em que todas as coordenadas são diferentes de zero.
Se x\neq 0, da primeira equação obtemos
1=\frac{\lambda}{9}\quad\Rightarrow\quad \lambda=9.
Se y\neq 0, da segunda obtemos
1=\frac{\lambda}{4}\quad\Rightarrow\quad \lambda=4.
Se z\neq 0, da terceira obtemos
1=4\lambda\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{4}.
Esses três valores de \lambda são incompatíveis entre si, então não existe solução com x, y e z todos não nulos.

Passo 8

Analisar casos em que exatamente uma coordenada é não nula (os outros dois são zero). Esses casos costumam aparecer em elipsoides porque os eixos principais são candidatos naturais.
Caso (i): y=0 e z=0, x\neq 0.
A restrição vira \dfrac{x^{2}}{9}=1, logo
x^{2}=9\quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Portanto obtemos os pontos \left(\pm 3,0,0\right). A distância ao quadrado é f=3^{2}=9.
Caso (ii): x=0 e z=0, y\neq 0.
A restrição vira \dfrac{y^{2}}{4}=1, logo
y^{2}=4\quad\Rightarrow\quad y=\pm 2.
Pontos \left(0,\pm 2,0\right). Distância ao quadrado f=2^{2}=4.
Caso (iii): x=0 e y=0, z\neq 0.
A restrição vira 4z^{2}=1, logo
z^{2}=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad z=\pm \frac{1}{2}.
Pontos \left(0,0,\pm \frac{1}{2}\right). Distância ao quadrado f=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.

Passo 9

Analisar casos em que exatamente duas coordenadas são não nulas (uma zero). Mostramos rapidamente que eles não dão solução compatível:
Suponha x\neq 0 e y\neq 0 e z=0. Então das equações de Lagrange teríamos \lambda=9 (por x) e \lambda=4 (por y), contradição. Portanto não há solução com x e y não nulos simultaneamente.
Suponha x\neq 0 e z\neq 0 e y=0. Então \lambda=9 e \lambda=\tfrac{1}{4}, contradição.
Suponha y\neq 0 e z\neq 0 e x=0. Então \lambda=4 e \lambda=\tfrac{1}{4}, contradição.
Portanto as únicas possibilidades viáveis são as do Passo 8 (apenas uma coordenada não nula).

Passo 10

Comparar as distâncias encontradas para escolher os pontos mais próximos:
  • Para \left(\pm 3,0,0\right): d^{2}=9.
  • Para \left(0,\pm 2,0\right): d^{2}=4.
  • Para \left(0,0,\pm \dfrac{1}{2}\right): d^{2}=\dfrac{1}{4}.
A menor dessas é \dfrac{1}{4}, correspondente aos pontos \left(0,0,\pm \dfrac{1}{2}\right). Isso significa que a menor distância da origem ao elipsóide é \dfrac{1}{2}, atingida nos pontos indicados.

Passo 11

Interpretação geométrica rápida (ajuda a decorar): os semi-eixos do elipsóide são \;a=3 ao longo de x, \;b=2 ao longo de y, e \;c=\tfrac{1}{2} ao longo de z. Como a origem está no centro do elipsoide, o ponto mais próximo da origem é o ponto no eixo correspondente ao menor semi-eixo, isto é, \pm c no eixo z. Isso confirma o resultado algébrico.

Resposta

(0,0,\tfrac{1}{2})
(0,0,-\tfrac{1}{2})

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