Considere a funçio dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função
; (2) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
- A função é
. - Precisamos achar pontos onde o gradiente é nulo e, depois, usar derivadas segundas para classificar.
Passo 2
O que é ponto crítico na prática? É um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam (ou onde alguma não existe, mas aqui são polinômios, então existem sempre). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Vou calcular as derivadas parciais usando regras básicas (derivada de
é
, derivada de constante é zero, derivada de
é
).
Calculemos:
Passo 3
Ponto crítico ocorre quando
, isto é, quando simultaneamente
Resolvo cada equação separadamente.
Para
:
Para
:
Como as equações são independentes, todos os pares combinados são pontos críticos. Logo os pontos críticos são:
Passo 4
Agora vamos classificar cada ponto usando a matriz Hessiana. O que é Hessiana? É a matriz das derivadas segundas:
A prova padrão (teste das derivadas segundas) diz: calcule
. Se em um ponto crítico
tivermos
e
então é mínimo local; se
e
então é máximo local; se
então é ponto de sela; se
o teste é inconclusivo.]
Passo 5
Calculo as derivadas segundas:
Portanto a Hessiana é diagonal:
O determinante é
Passo 6
Avalio
e
em cada ponto crítico e aplico o teste:
- Em
:
Como
,
é ponto de sela.
- Em
:
Como
e
,
é mínimo local.
- Em
:
Como
e
,
é máximo local.
- Em
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 7
Resumo didático rápido para ficar gravado: aqui as derivadas primeiras separaram
e
, então os pontos críticos vieram de resoluções simples
e
. A Hessiana sendo diagonal facilitou muito: o sinal do determinante depende apenas do produto
. Quando o produto
é negativo o determinante é positivo e dá extremos; o sinal de
decide se é mínimo (
) ou máximo (
). Quando
o determinante é negativo e temos sela. Dá para usar esse raciocínio rápido na prova se reconhecer forma similar.