(2,0) Considere a funçio dada por f(x, y)=3 x^{3}-2 y^{3}-36 x+24 y. Determine os pontos críticos de f e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar os pontos críticos da função f(x,y)=3x^{3}-2y^{3}-36x+24y; (2) classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=3x^{3}-2y^{3}-36x+24y.
  • Precisamos achar pontos onde o gradiente é nulo e, depois, usar derivadas segundas para classificar.

Passo 2

O que é ponto crítico na prática? É um ponto onde todas as derivadas parciais primeiras se anulam (ou onde alguma não existe, mas aqui são polinômios, então existem sempre). O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\bigl(f_x(x,y),\,f_y(x,y)\bigr).
Vou calcular as derivadas parciais usando regras básicas (derivada de x^n é n x^{n-1}, derivada de constante é zero, derivada de ax é a).
Calculemos:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{3}-2y^{3}-36x+24y\bigr)=9x^{2}-36.
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{3}-2y^{3}-36x+24y\bigr)=-6y^{2}+24.

Passo 3

Ponto crítico ocorre quando \nabla f=0, isto é, quando simultaneamente
9x^{2}-36=0, \qquad -6y^{2}+24=0.
Resolvo cada equação separadamente.
Para x:
9x^{2}-36=0 \Longrightarrow 9(x^{2}-4)=0 \Longrightarrow x^{2}=4 \Longrightarrow x=\pm 2.
Para y:
-6y^{2}+24=0 \Longrightarrow -6(y^{2}-4)=0 \Longrightarrow y^{2}=4 \Longrightarrow y=\pm 2.
Como as equações são independentes, todos os pares combinados são pontos críticos. Logo os pontos críticos são:
(2,2),\quad (2,-2),\quad (-2,2),\quad (-2,-2).

Passo 4

Agora vamos classificar cada ponto usando a matriz Hessiana. O que é Hessiana? É a matriz das derivadas segundas:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[4pt] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.
A prova padrão (teste das derivadas segundas) diz: calcule D(x,y)=\det H_f(x,y). Se em um ponto crítico (x_0,y_0) tivermos D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)>0 então é mínimo local; se D>0 e f_{xx}(x_0,y_0)<0 então é máximo local; se D<0 então é ponto de sela; se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calculo as derivadas segundas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(9x^{2}-36)=18x,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(9x^{2}-36)=0,
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(-6y^{2}+24)=-12y.
Portanto a Hessiana é diagonal:
H_f(x,y)=\begin{pmatrix}18x & 0\\[4pt]0 & -12y\end{pmatrix}.
O determinante é
D(x,y)=\det H_f(x,y)=(18x)(-12y)-0^{2}=-216\,x y.]

Passo 6

Avalio D e f_{xx} em cada ponto crítico e aplico o teste:
  1. Em (2,2):
D(2,2)=-216\cdot 2\cdot 2=-864<0.
Como D<0, (2,2) é ponto de sela.
  1. Em (2,-2):
D(2,-2)=-216\cdot 2\cdot(-2)=864>0, \qquad f_{xx}(2,-2)=18\cdot 2=36>0.
Como D>0 e f_{xx}>0, (2,-2) é mínimo local.
  1. Em (-2,2):
D(-2,2)=-216\cdot(-2)\cdot 2=864>0, \qquad f_{xx}(-2,2)=18\cdot(-2)=-36<0.
Como D>0 e f_{xx}<0, (-2,2) é máximo local.
  1. Em (-2,-2):
D(-2,-2)=-216\cdot(-2)\cdot(-2)=-864<0.
Como D<0, (-2,-2) é ponto de sela.

Passo 7

Resumo didático rápido para ficar gravado: aqui as derivadas primeiras separaram x e y, então os pontos críticos vieram de resoluções simples x=\pm2 e y=\pm2. A Hessiana sendo diagonal facilitou muito: o sinal do determinante depende apenas do produto xy. Quando o produto xy é negativo o determinante é positivo e dá extremos; o sinal de f_{xx}=18x decide se é mínimo ( x>0) ou máximo ( x<0). Quando xy>0 o determinante é negativo e temos sela. Dá para usar esse raciocínio rápido na prova se reconhecer forma similar.

Resposta

(2,2) ponto de sela
(2,-2) mínimo local
(-2,2) máximo local
(-2,-2) ponto de sela

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