calcule a integral indicada.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral definida
Informações dadas: os limites de integração são
e
, e a função integranda é
. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Escolha do método: observe que aparece
no denominador. Uma substituição simples que elimina essa raiz é
. Essa é uma substituição básica e direta — é a maneira mais econômica para transformar a raiz em uma potência
e facilitar a integração. Vou usar essa substituição.
Passo 3
Fazer a substituição
. Então
Também trocamos os limites: quando
vem
; quando
vem
.
Passo 4
Reescrever a integranda em
. Temos
Dividindo os termos:
Portanto a integral fica
Passo 5
Agora integraremos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para
,
Aplicando:
- Para
, com ,
- Para
, com ,
Logo uma antiderivada conjunta é
Passo 6
Avaliar
entre os limites
e
:
Primeiro :
Primeiro
Então
Agora
:
logo
Passo 7
Subtrair os valores nos limites:
Podemos escrever de forma factorada: