calcule a integral indicada.
\int_{2}^{3} \frac{x}{\sqrt{x-1}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral definida
\int_{2}^{3} \frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx.
Informações dadas: os limites de integração são x=2 e x=3, e a função integranda é \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}. O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Escolha do método: observe que aparece \sqrt{x-1} no denominador. Uma substituição simples que elimina essa raiz é u=x-1. Essa é uma substituição básica e direta — é a maneira mais econômica para transformar a raiz em uma potência u^{1/2} e facilitar a integração. Vou usar essa substituição.

Passo 3

Fazer a substituição u=x-1. Então
x=u+1,\qquad dx=du.
Também trocamos os limites: quando x=2 vem u=2-1=1; quando x=3 vem u=3-1=2.

Passo 4

Reescrever a integranda em u. Temos
\frac{x}{\sqrt{x-1}}=\frac{u+1}{\sqrt{u}}.
Dividindo os termos:
\frac{u+1}{\sqrt{u}}=\frac{u}{\sqrt{u}}+\frac{1}{\sqrt{u}}=\sqrt{u}+u^{-1/2}.
Portanto a integral fica
\int_{2}^{3}\frac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx=\int_{1}^{2}\bigl(\sqrt{u}+u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 5

Agora integraremos termo a termo usando a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando:
  • Para \sqrt{u}=u^{1/2}, com n=1/2,
\int u^{1/2}\,du=\frac{u^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}u^{3/2}.
  • Para u^{-1/2}, com n=-1/2,
\int u^{-1/2}\,du=\frac{u^{1/2}}{1/2}=2u^{1/2}.
Logo uma antiderivada conjunta é
F(u)=\frac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}.

Passo 6

Avaliar F(u) entre os limites u=1 e u=2:
Primeiro u=2:
u^{1/2}=\sqrt{2},\qquad u^{3/2}=2\sqrt{2}.
Então
F(2)=\frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\frac{4}{3}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\left(\frac{4}{3}+\frac{6}{3}\right)\sqrt{2}=\frac{10}{3}\sqrt{2}.
Agora u=1:
u^{1/2}=1,\qquad u^{3/2}=1,
logo
F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1+2\cdot 1=\frac{2}{3}+2=\frac{2}{3}+\frac{6}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 7

Subtrair os valores nos limites:
\int_{1}^{2}\bigl(\sqrt{u}+u^{-1/2}\bigr)\,du=F(2)-F(1)=\frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{8}{3}.
Podemos escrever de forma factorada:
\frac{10\sqrt{2}-8}{3}=\frac{2\,(5\sqrt{2}-4)}{3}.

Resposta

\dfrac{10\sqrt{2}-8}{3}

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