Considere as funções
Calcule os limites abaixo, caso existam, de dois modos:
  • encontrando a lei da função :
    (a)
    (b)
    (c)
Resp.: (25a) ; (25b) #: e ;

Passo 1

O enunciado define
f(x)= 2, & x<0, x^2, & x>=0, g(x)= x+2, & x<2, -(x-2)^2+4, & 2<= x<=4, -2, & x>4,
e pede os limites de g(f(x)) em x=tfrac12, 0 e 2. O conteúdo necessário é composição de funções, estudo de função por partes e limites (inclusive laterais).

Passo 2

Para achar a lei de gcirc f, note que primeiro aplicamos f:
  • Se x<0, então f(x)=2.
  • Se x>=0, então f(x)=x^2.
    Em seguida, inserimos y=f(x) na definição de g(y), que tem três ramos segundo y<2, 2<= y<=4 e y>4.

Passo 3

Determinamos em que intervalos de x cada ramo de g é ativado por f(x):
  • Se x<0, temos f(x)=2in[2,4], logo g(f(x))=-(2-2)^2+4=4
  • Se x>=0, então f(x)=x^2, e
    • para 0<= x<raiz2 temos 0<= x^2<2, então
      g(f(x))=x^2+2.
    • para raiz2<= x<=2 temos 2<= x^2<=4, então
      g(f(x))=-(x^2-2)^2+4.
    • para x>2 temos x^2>4, então
      g(f(x))=-2.
      Resumindo,
g(f(x))= 4, & x<0, x^2+2, & 0<= x<raiz2, -(x^2-2)^2+4, & raiz2<= x<=2, -2, & x>2

Passo 4

Modo 1 (usando a lei de gcirc f):
(a) Para xtotfrac12in(0,raiz2), estamos no ramo x^2+2, contínuo, logo
limxto12g(f(x)) =l(tfrac12r)^2+2 =14+2 =94
(b) Para xto0:
  • se xto0^-, x<0 e g(f(x))=4;
  • se xto0^+, 0<x<raiz2 e g(f(x))=x^2+2to2.
    Como 4neq2, o limite bilateral não existe.
    (c) Para xto2:
  • se xto2^-, raiz2<x<2 e g(f(x))=-(x^2-2)^2+4to0;
  • se xto2^+, x>2 e g(f(x))=-2.
    Como 0neq-2, o limite bilateral não existe.

Passo 5

Modo 2 (sem usar a fórmula composta, só pensando em f e depois em g):
(a) Para xtotfrac12>0, f(x)=x^2totfrac14<2. Então entramos no ramo g(y)=y+2, contínuo em y=tfrac14, e
limxto12g(f(x)) =limyto14(y+2) =14+2 =94
(b) Para xto0^-, f(x)=2 fixo, e em y=2 o ramo de g é -(y-2)^2+4 contínuo, dando 4. Para xto0^+, f(x)=x^2to0<2, caímos em g(y)=y+2 e obtemos 2. Logo laterais diferentes.
(c) Para xto2, sempre f(x)=x^2to4. Se viemos por x<2, x^2<4 mas >=2, caímos em -(y-2)^2+4to0. Se viemos por x>2, x^2>4 e g(y)=-2. De novo as duas laterais não coincidem.

Resposta

(a) 94
(b) limxto0^-g(f(x))=4 e limxto0^+g(f(x))=2, logo o limite bilateral não existe.
(c) limxto2^-g(f(x))=0 e limxto2^+g(f(x))=-2, logo o limite bilateral não existe.

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