Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
Neste exercício vamos estudar a função f(x)=−\tfrac14x4+\tfrac43x3−2x^2+5: precisamos determinar monotonicidade, concavidade, extremos, pontos de inflexão, limites e, por fim, esboçar o gráfico com as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira para achar os pontos críticos. Primeiro, f′(x) é a derivada de cada termo:
Podemos fatorar:
As raízes de f′(x)=0 são x=0 (simples) e x=2 (multiplicidade 2).
Passo 3
Para determinar onde f é crescente ou decrescente, basta olhar o sinal de f′(x):
— Se x<0, f′(x)=−(neg)(…)^2 é positivo → f cresce em (−∞,0).
— Se 0<x<2, f′(x)=−(pos)(…)^2 é negativo → f decresce em (0,2).
— Se x>2, f′(x)=−(pos)(…)^2 continua negativo → f decresce em (2,+∞).
Portanto, f é crescente em (−∞,0) e decrescente em (0,+∞).
— Se x<0, f′(x)=−(neg)(…)^2 é positivo → f cresce em (−∞,0).
— Se 0<x<2, f′(x)=−(pos)(…)^2 é negativo → f decresce em (0,2).
— Se x>2, f′(x)=−(pos)(…)^2 continua negativo → f decresce em (2,+∞).
Portanto, f é crescente em (−∞,0) e decrescente em (0,+∞).
Passo 4
Agora a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
Resolvendo f’’(x)=0:
Analisando o sinal de f’’:
— Para x<2/3, f’’<0 → concava para baixo em (−∞,2/3).
— Para 2/3<x<2, f’’>0 → concava para cima em (2/3,2).
— Para x>2, f’’<0 → concava para baixo em (2,+∞).
Os pontos x=2/3 e x=2 são pontos de inflexão. Vamos achar suas imagens:
— Para x<2/3, f’’<0 → concava para baixo em (−∞,2/3).
— Para 2/3<x<2, f’’>0 → concava para cima em (2/3,2).
— Para x>2, f’’<0 → concava para baixo em (2,+∞).
Os pontos x=2/3 e x=2 são pontos de inflexão. Vamos achar suas imagens:
Passo 5
Para extremos locais, observamos f′ muda de + para − em x=0 → máximo local (e global, pois f→−∞ nas duas pontas). Em x=2 não há troca de sinal → sem extremum.
Passo 6
Limites infinitos: como o termo dominante é −\tfrac14x^4 (par e coeficiente negativo),
Passo 7
Para esboçar o gráfico: marque os pontos (0,5), (2/3,361/81≈4,4568) e (2,11/3≈3,6667); desenhe a curva crescente até x=0, depois decrescente com mudança de concavidade em x=2/3 (retas tangentes não horizontais) e em x=2 (tangente horizontal). As equações das retas tangentes são:
— em x=2/3, f’(2/3)=−\tfrac{32}{27}, retas:
— em x=2/3, f’(2/3)=−\tfrac{32}{27}, retas:
— em x=2, f’(2)=0 →
O esboço mostra o comportamento nos extremos e inflexões conforme indicado.
Resposta
– Função crescente em (−∞,0), decrescente em (0,+∞).
– Concava para baixo em (−∞,2/3)∪(2,+∞), concava para cima em (2/3,2).
– Máximo local (e global) em x=0 com f(0)=5. Sem mínimos.
– Pontos de inflexão em (2/3,361/81) e (2,11/3).
– Limites: limₓ→±∞ f(x)=−∞.
– Retas tangentes nos inflexões:
• em x=2/3: y−361/81=−32/27(x−2/3)
• em x=2: y=11/3
– Gráfico esboçado marcando esses pontos, sinais de f′ e f″, e as tangentes solicitadas.
– Concava para baixo em (−∞,2/3)∪(2,+∞), concava para cima em (2/3,2).
– Máximo local (e global) em x=0 com f(0)=5. Sem mínimos.
– Pontos de inflexão em (2/3,361/81) e (2,11/3).
– Limites: limₓ→±∞ f(x)=−∞.
– Retas tangentes nos inflexões:
• em x=2/3: y−361/81=−32/27(x−2/3)
• em x=2: y=11/3
– Gráfico esboçado marcando esses pontos, sinais de f′ e f″, e as tangentes solicitadas.