Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
  • Os intervalos nos quais a função é crescente;
  • Os intervalos nos quais a função é decrescente;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
  • Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
  • Os valores de x nos quais a função tem extremos locais ou globais;
  • Os pontos de inflexão;
  • Os limites infinitos.
    Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
    f(x)=(x^3-x^2) raizx

Passo 1

A questão pede para analisar a função f(x)=(x^3 - x^2)raizx nos aspectos de monotonia, concavidade, extremos, inflexão, limites infinitos e depois esboçar o gráfico com a reta tangente no(s) ponto(s) de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda, teste de sinal e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, definimos o domínio e reescrevemos f(x) de forma mais simples. Como aparece raizx, temos domínio x>=0. Escrevendo potências:
f(x)=x^3,x^1/2 - x^2,x^1/2 = x^7/2 - x^5/2

Passo 3

Agora calculamos a derivada primeira.
Derivando f(x)=x^7/2-x^5/2:
f'(x)=72x^5/2 - 52x^3/2 = x^3/22(7x - 5)
Igualando a zero, obtemos pontos críticos em x=0 (fronteira do domínio) e x=5/7.

Passo 4

Para monotonia, analisamos o sinal de f'(x)=tfracx^3/22(7x-5) em (0,+infty):
  • Em 0, x^3/2>0 e 7x-5<0, logo f'<0 (decrescente).
  • Em x>5/7, 7x-5>0 e f'>0 (crescente).
    Concluímos que há um extremo local máximo em x=0 (pois de 0 a 5/7 a função decresce a partir de f(0)=0) e um mínimo local em x=5/7.

Passo 5

Calculamos a derivada segunda para concavidade e inflexão. Derivando f'(x)=tfracx^3/22(7x-5) por partes:
f''(x)=14x^1/2(35x - 15)
Igualando a zero, temos x=0 e 35x-15=0 x=3/7.

Passo 6

Para concavidade, observamos o sinal de f''(x) em (0,+infty):
  • Em 0, 35x-15<0 f''<0 (côncava para baixo).
  • Em x>3/7, 35x-15>0 f''>0 (côncava para cima).
    Portanto, há um ponto de inflexão em x=3/7.

Passo 7

Agora calculamos os limites infinitos relevantes:
limxto 0^+f(x)=limxto0^+(x^7/2-x^5/2)=0,
limxto+inftyf(x)=+infty
Não há assíntotas verticais, apenas comportamento inicial em zero e crescimento sem limite.

Passo 8

Para desenhar a reta tangente em x=3/7, precisamos do coeficiente angular f'(3/7) e do ponto (3/7,f(3/7)).
Calculamos
f(3/7)=-36343raiz37, f'(3/7)=-l(37r)^3/2
Logo a reta tangente é
y=-l(tfrac37r)^3/2l(x-tfrac37r)-36343raiz37

Passo 9

Finalmente, esboçamos o gráfico de f(x):
  • Em x=0, f=0 com máximo local e tangente horizontal.
  • De 0 a 5/7, desce até um mínimo f(5/7)<0.
  • De 5/7 em diante, cresce até +\infty.
  • Muda de côncavo para baixo para côncavo para cima em x=3/7, onde traçamos a reta tangente.
    Esse desenho reflete todos os comportamentos estudados.

Resposta

Intervalos de crescimento: (5/7, +∞).
Intervalos de decrescimento: (0, 5/7).
Concavidade para cima: (3/7, +∞).
Concavidade para baixo: (0, 3/7).
Extremo local máximo em x=0 com f(0)=0.
Extremo local (e global) mínimo em x=5/7 com f\bigl(5/7\bigr)=-\tfrac{50}{343}\sqrt{\tfrac{5}{7}}.
Ponto de inflexão em x=3/7 com f\bigl(3/7\bigr)=-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.
Limites: lim_{x\to0^+} f(x)=0, lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.
Reta tangente em x=3/7: y=-\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)^{3/2}(x-\tfrac{3}{7})-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.

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