Considere as funções dadas abaixo. Para cada uma delas, determine, se houver:
- Os intervalos nos quais a função é crescente;
- Os intervalos nos quais a função é decrescente;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para cima;
- Os intervalos nos quais a função é côncava para baixo;
- Os valores de
nos quais a função tem extremos locais ou globais;
- Os pontos de inflexão;
- Os limites infinitos.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Depois, esboce o gráfico da função em um sistema de eixos cartesianos, com cuidado, para mostrar o comportamento da função. Desenhe também as retas tangentes nos pontos de inflexão.
Passo 1
A questão pede para analisar a função
nos aspectos de monotonia, concavidade, extremos, inflexão, limites infinitos e depois esboçar o gráfico com a reta tangente no(s) ponto(s) de inflexão. Vamos usar derivadas primeira e segunda, teste de sinal e cálculo de limites.
Passo 2
Primeiro, definimos o domínio e reescrevemos
de forma mais simples. Como aparece
, temos domínio
. Escrevendo potências:
Passo 3
Agora calculamos a derivada primeira.
Derivando :
Derivando
Igualando a zero, obtemos pontos críticos em
Passo 4
Para monotonia, analisamos o sinal de
em
:
- Em
, e , logo (decrescente). - Em
, e (crescente).
Concluímos que há um extremo local máximo em(pois de 0 a 5/7 a função decresce a partir de ) e um mínimo local em .
Passo 5
Calculamos a derivada segunda para concavidade e inflexão. Derivando
por partes:
Igualando a zero, temos
Passo 6
Para concavidade, observamos o sinal de
em
:
- Em
, ⇒ (côncava para baixo). - Em
, ⇒ (côncava para cima).
Portanto, há um ponto de inflexão em.
Passo 7
Agora calculamos os limites infinitos relevantes:
Não há assíntotas verticais, apenas comportamento inicial em zero e crescimento sem limite.
Passo 8
Para desenhar a reta tangente em
, precisamos do coeficiente angular
e do ponto
.
Calculamos
Calculamos
Logo a reta tangente é
Passo 9
Finalmente, esboçamos o gráfico de
:
- Em
, com máximo local e tangente horizontal. - De 0 a
, desce até um mínimo . - De
em diante, cresce até +\infty. - Muda de côncavo para baixo para côncavo para cima em
, onde traçamos a reta tangente.
Esse desenho reflete todos os comportamentos estudados.
Resposta
Intervalos de crescimento: (5/7, +∞).
Intervalos de decrescimento: (0, 5/7).
Concavidade para cima: (3/7, +∞).
Concavidade para baixo: (0, 3/7).
Extremo local máximo em x=0 com f(0)=0.
Extremo local (e global) mínimo em x=5/7 com f\bigl(5/7\bigr)=-\tfrac{50}{343}\sqrt{\tfrac{5}{7}}.
Ponto de inflexão em x=3/7 com f\bigl(3/7\bigr)=-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.
Limites: lim_{x\to0^+} f(x)=0, lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.
Reta tangente em x=3/7: y=-\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)^{3/2}(x-\tfrac{3}{7})-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.
Intervalos de decrescimento: (0, 5/7).
Concavidade para cima: (3/7, +∞).
Concavidade para baixo: (0, 3/7).
Extremo local máximo em x=0 com f(0)=0.
Extremo local (e global) mínimo em x=5/7 com f\bigl(5/7\bigr)=-\tfrac{50}{343}\sqrt{\tfrac{5}{7}}.
Ponto de inflexão em x=3/7 com f\bigl(3/7\bigr)=-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.
Limites: lim_{x\to0^+} f(x)=0, lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty.
Reta tangente em x=3/7: y=-\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)^{3/2}(x-\tfrac{3}{7})-\tfrac{36}{343}\sqrt{\tfrac{3}{7}}.