Considere as funções definidas em
por
- Mostre que
não existe.
- Mostre que
existe.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas em
:
O objetivo é:
- Mostrar que
não existe. - Mostrar que
existe.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar algumas técnicas de cálculo multivariado.
Passo 2
Parte 1: Mostrar que
não existe.
Para provar que o limite não existe, uma estratégia comum é calcular o limite da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto
e mostrar que obtenhamos valores diferentes.
Caminho 1:
Substituindo
na função
:
Sabemos que, quando
se aproxima de 0,
. Então:
Portanto,
.
Caminho 2:
Substituindo
na função
:
Portanto,
.
Conclusão da Parte 1:
Vimos que ao abordar
pelo caminho
, o limite de
é 1, e pelo caminho
, o limite é 0. Como esses limites são diferentes, concluímos que:
Passo 3
Parte 2: Mostrar que
existe.
Para demonstrar que o limite existe, vamos calcular o limite da função
à medida que
se aproxima de
. Uma abordagem eficiente para funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde:
Com isso,
. Substituindo na função
:
Sabemos que, para
próximo de 0,
e
(pois
tende a 0). Então:
Agora, calculamos o limite quando
tende a 0:
Conclusão da Parte 2:
Independente do ângulo
, à medida que
tende a 0,
tende a 0. Portanto:
Resposta
-
não existe. -
existe e é igual a .