Considere as funções definidas em R^2-(0,0) por
f(x, y)=(x+y)^2 e^x ysin (x^2+y^2), g(x, y)=(x^2+y^2)^3 e^x ysin (x^2+y^2)
  1. Mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe.
  2. Mostre que lim (x, y) (0,0) g(x, y) existe.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas funções definidas em R^2 - (0,0):
f(x, y) = (x + y)^2 e^xysin(x^2 + y^2), g(x, y) = (x^2 + y^2)^3 e^xysin(x^2 + y^2)
O objetivo é:
  1. Mostrar que lim(x, y) (0,0) f(x, y) não existe.
  2. Mostrar que lim(x, y) (0,0) g(x, y) existe.
Para resolver isso, vamos precisar entender como os limites funcionam em várias direções e usar algumas técnicas de cálculo multivariado.

Passo 2

Parte 1: Mostrar que lim(x, y) (0,0) f(x, y) não existe.
Para provar que o limite não existe, uma estratégia comum é calcular o limite da função ao longo de diferentes caminhos que levam ao ponto (0,0) e mostrar que obtenhamos valores diferentes.
Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função f(x, y):
f(x, 0) = (x + 0)^2 e^x cdot 0sin(x^2 + 0^2) = x^2 cdot 1sin(x^2)
Sabemos que, quando t se aproxima de 0, sin(t) approx t. Então:
f(x, 0) approx x^2x^2 = 1
Portanto, limx 0 f(x, 0) = 1.
Caminho 2: y = -x
Substituindo y = -x na função f(x, y):
f(x, -x) = (x - x)^2 e^x cdot (-x)sin(x^2 + (-x)^2) = 0^2 e^-x^2sin(2x^2) = 0
Portanto, limx 0 f(x, -x) = 0.
Conclusão da Parte 1:
Vimos que ao abordar (0,0) pelo caminho y = 0, o limite de f(x, y) é 1, e pelo caminho y = -x, o limite é 0. Como esses limites são diferentes, concluímos que:
lim(x, y) (0,0) f(x, y) não existe ã

Passo 3

Parte 2: Mostrar que lim(x, y) (0,0) g(x, y) existe.
Para demonstrar que o limite existe, vamos calcular o limite da função g(x, y) à medida que (x, y) se aproxima de (0,0). Uma abordagem eficiente para funções de duas variáveis é usar coordenadas polares, onde:
x = r costheta, y = r sintheta
Com isso, x^2 + y^2 = r^2. Substituindo na função g(x, y):
g(r, theta) = (r^2)^3 e^(r costheta)(r sintheta)sin(r^2) = r^6 e^r^2 costheta sinthetasin(r^2)
Sabemos que, para r próximo de 0, sin(r^2) approx r^2 e e^r^2 costheta sintheta approx 1 (pois r^2 costheta sintheta tende a 0). Então:
g(r, theta) approx r^6 cdot 1r^2 = r^4
Agora, calculamos o limite quando r tende a 0:
limr 0 r^4 = 0
Conclusão da Parte 2:
Independente do ângulo theta, à medida que r tende a 0, g(r, theta) tende a 0. Portanto:
lim(x, y) (0,0) g(x, y) = 0

Resposta

  1. lim(x, y) (0,0) f(x, y) não existe.
  2. lim(x, y) (0,0) g(x, y) existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados