Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
a) x+y-1+z^2=0, z >= 0
b) z=raizy-x^2+raiz2 x-y
c) z=x-yraiz1-x^2-y^2
d) z^2+4=x^2+y^2, z >= 0
e) z=ln (2 x^2+y^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é representar graficamente o domínio de várias funções de duas variáveis, ou seja, descobrir para quais valores de x e y a função z = f(x, y) está definida. Para isso, vamos precisar entender as condições que garantem que as expressões matemáticas sejam válidas, como evitar dividir por zero, garantir que a raiz quadrada tenha um número não negativo, ou que o argumento do logaritmo seja positivo, por exemplo.

Passo 2

a) x + y - 1 + z^2 = 0, z >= 0
Primeiro, vamos isolar z:
z^2 = - (x + y - 1)
Para que z^2 seja real, o lado direito da equação precisa ser não negativo:
- (x + y - 1) >= 0 implies x + y - 1 <= 0
Além disso, z >= 0 significa que tiramos a raiz positiva:
z = raiz - (x + y - 1)
Então, o domínio é o conjunto de pontos (x, y) que satisfazem:
x + y <= 1
Isso é a região no plano xy abaixo ou sobre a reta x + y = 1.

Passo 3

b) z = raizy - x^2 + raiz2x - y
Aqui temos duas raízes quadradas, então os argumentos delas precisam ser não negativos:
  1. $ y - x^{2} \geq 0 \implies y \geq x^{2} $
  2. $ 2x - y \geq 0 \implies y \leq 2x $
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, devemos ter:
y - x^2 >= 0 implies y >= x^2
Além disso, para que 2x - y >= 0 implies y <= 2x , precisamos que x^2 <= y <= 2x seja tal que 2x - y >= 0, ou seja:
x
Isso acontece quando 2x >= x^2.
Então, o domínio é:
2x - x^2 >= 0 implies x(2 - x) >= 0

Passo 4

c) z = x - yraiz1 - x^2 - y^2
Aqui temos um denominador que envolve uma raiz quadrada, então precisamos que:
  1. 1 - x^2 - y^2 > 0 (não pode ser zero para evitar divisão por zero e a raiz deve ser real)
    Isso implica:
    x^2 + y^2 < 1
Além disso, o denominador não pode ser zero, então a desigualdade é estrita.
Então, o domínio é o interior do círculo de raio 1 centrado na origem no plano xy:
x^2 + y^2 < 1

Passo 5

d) z^2 + 4 = x^2 + y^2, z >= 0
Vamos isolar z^2:
z^2 = x^2 + y^2 - 4
Para que z^2 seja real e não negativo:
x^2 + y^2 - 4 >= 0 implies x^2 + y^2 >= 4
Além disso, z >= 0 nos dá:
z = raizx^2 + y^2 - 4
Então, o domínio é o conjunto de pontos (x, y) que estão fora ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem:
x^2 + y^2 >= 4

Passo 6

e) z = ln (2x^2 + y^2 - 1)
O logaritmo natural só é definido para argumentos positivos, então:
2x^2 + y^2 - 1 > 0 implies 2x^2 + y^2 > 1
Isso representa o interior de uma elipse no plano xy. Mas como a desigualdade é >, o domínio consiste nos pontos que estão fora da elipse definida por:
2x^2 + y^2 = 1

Resposta

Domínios das funções:
a) x + y <= 1
b) 0 <= x <= 2 e x^2 <= y <= 2x
c) x^2 + y^2 < 1
d) x^2 + y^2 >= 4
e) 2x^2 + y^2 > 1

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