Represente graficamente o domínio da função
dada por:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é representar graficamente o domínio de várias funções de duas variáveis, ou seja, descobrir para quais valores de
e
a função
está definida. Para isso, vamos precisar entender as condições que garantem que as expressões matemáticas sejam válidas, como evitar dividir por zero, garantir que a raiz quadrada tenha um número não negativo, ou que o argumento do logaritmo seja positivo, por exemplo.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos isolar
:
Para que
seja real, o lado direito da equação precisa ser não negativo:
Além disso,
significa que tiramos a raiz positiva:
Então, o domínio é o conjunto de pontos
que satisfazem:
Isso é a região no plano
abaixo ou sobre a reta
.
Passo 3
b)
Aqui temos duas raízes quadradas, então os argumentos delas precisam ser não negativos:
- $ y - x^{2} \geq 0 \implies y \geq x^{2} $
- $ 2x - y \geq 0 \implies y \leq 2x $
Para que ambas as condições sejam verdadeiras ao mesmo tempo, devemos ter:
Além disso, para que
, precisamos que
seja tal que
, ou seja:
Isso acontece quando
.
Então, o domínio é:
Passo 4
c)
Aqui temos um denominador que envolve uma raiz quadrada, então precisamos que:
-
(não pode ser zero para evitar divisão por zero e a raiz deve ser real) Isso implica:
Além disso, o denominador não pode ser zero, então a desigualdade é estrita.
Então, o domínio é o interior do círculo de raio 1 centrado na origem no plano
:
Passo 5
d)
Vamos isolar
:
Para que
seja real e não negativo:
Além disso,
nos dá:
Então, o domínio é o conjunto de pontos
que estão fora ou sobre o círculo de raio 2 centrado na origem:
Passo 6
e)
O logaritmo natural só é definido para argumentos positivos, então:
Isso representa o interior de uma elipse no plano
. Mas como a desigualdade é
, o domínio consiste nos pontos que estão fora da elipse definida por:
Resposta
Domínios das funções:
a)
b)
e
c)
d)
e)