Verifique se o limite existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o limite exista. Em funções de duas variáveis, o limite
existe se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar a
, o valor de
se aproxima do mesmo número.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é consistente. Um caminho simples é ao longo do eixo
, onde
.
Substituindo
na função:
Então, ao aproximar-se de
ao longo do eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho: ao longo da linha
.
Substituindo
na função:
Então, ao aproximar-se de
ao longo da linha
, o limite é
.
Passo 5
Comparando os dois resultados:
- Pelo eixo
, o limite é . - Pela linha
, o limite é .
Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.
Resposta
O limite
não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.