Verifique se o limite existe lim (x, y) (0,0) x y2 x^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o limite da função xy2x^2+3y^2 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, uma parte importante do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o limite exista. Em funções de duas variáveis, o limite lim (x, y) (0,0) f(x,y) existe se, independentemente do caminho que escolhemos para chegar a (0,0), o valor de f(x,y) se aproxima do mesmo número.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é consistente. Um caminho simples é ao longo do eixo x, onde y = 0.
Substituindo y = 0 na função:
f(x,0) = x cdot 02x^2 + 3 cdot 0^2 = 0
Então, ao aproximar-se de (0,0) ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho: ao longo da linha y = x.
Substituindo y = x na função:
f(x,x) = x cdot x2x^2 + 3x^2 = x^25x^2 = 15
Então, ao aproximar-se de (0,0) ao longo da linha y = x, o limite é 15.

Passo 5

Comparando os dois resultados:
  • Pelo eixo x, o limite é 0.
  • Pela linha y = x, o limite é 15.
Como obtemos valores diferentes dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não é o mesmo em todas as direções.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x y2 x^2+3 y^2 não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.

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