Considere a função definida por f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-3, \text { se } x>2 \\\\ 1, \text { se } x=2 \\\ \frac{1}{x-2}, \text { se } x<2\end{array}\right..
(a) Construa o gráfico de f(x).
(b) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é bijetora? Justifique.
(c) Determine f^{-1}(x), restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu gráfico.
(b) responder se f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetora, justificando a resposta;
(c) determinar f^{-1}(x), restringindo domínio/contradomínio se necessário, e construir o gráfico de f^{-1}.
Informações relevantes fornecidas (todas extraídas do enunciado acima):
Domínio original: todo \mathbb{R}.
A função está definida por três ramos: para x<2 é \dfrac{1}{x-2}, em x=2 o valor é 1, e para x>2 é x^{2}-3.
Não há outras informações externas (nenhuma figura foi enviada).]
Passo 2
Entender cada ramo separadamente: identificar domínio de cada ramo, comportamento (monotonicidade), limites nas fronteiras e pontos notáveis — isso serve para esboçar o gráfico de forma correta.
Ramo 1 (esquerda): para x<2,
f(x)=\frac{1}{x-2}.
Domínio local: (-\infty,2).
É uma função do tipo \dfrac{1}{u} com u=x-2. Para u<0 (porque x-2<0 quando x<2) a função é negativa.
Limites importantes:\lim_{x\to2^-}\frac{1}{x-2}=-\infty\quad\text{(há assíntota vertical em }x=2),áí
\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x-2}=0^{-}\quad\text{(assíntota horizontal }y=0\text{, vindo por abaixo).}í
Derivada: \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x-2}\right)= -\dfrac{1}{(x-2)^2}<0 para todo x\ne2. Logo é estritamente decrescente em (-\infty,2).
Intervalo imagem deste ramo: (-\infty,0).
Ramo 2 (ponto): em x=2,
f(2)=1.
É apenas o ponto (2,1) no gráfico.
Ramo 3 (direita): para x>2,
f(x)=x^{2}-3.
Domínio local: (2,\infty).
É uma parábola; restrita a x>2 consideramos apenas a parte direita da parábola.
Para x>2, x^{2}-3>1 porque x^{2}>4 então x^{2}-3>1. Assim a imagem do ramo direito é (1,\infty).
Derivada: \dfrac{d}{dx}(x^{2}-3)=2x>0 para x>2. Logo é estritamente crescente em (2,\infty).
Limite ao se aproximar de 2 pela direita:\lim_{x\to2^+}x^{2}-3=1.O ponto (2,1) está exatamente no valor do limite pela direita; porém o ramo direito não inclui x=2, apenas se aproxima de (2,1) por valores x>2.
Passo 3
Esboço do gráfico de f (instruções passo a passo para desenhar):
Ramo esquerdo: desenhar a hipérbole y=\dfrac{1}{x-2} apenas para x<2. Colocar uma assíntota vertical em x=2 (seta para -\infty) e uma assíntota horizontal em y=0 (a curva se aproxima de y=0 por baixo quando x\to-\infty). Marcar que o ramo é negativo: ocupa toda a região y<0 quando x<2.
Ponto isolado: marcar o ponto (2,1) (um ponto cheio, pois f(2)=1).
Ramo direito: desenhar a parábola y=x^{2}-3 apenas para x>2. Começa arbitrariamente próxima de (2,1) por cima (valores ligeiramente maiores que 1) e cresce rapidamente para +\infty conforme x cresce.
Observar lacuna no intervalo vertical 0\le y<1: não há pontos do gráfico com y=0 ou 0<y<1.
Resumo visual (palavras): à esquerda de x=2 há uma hipérbole negativa que vai de y\to0^- em x\to-\infty até y\to -\infty em x\to2^-; em x=2 há o ponto (2,1); à direita temos a ramificação da parábola x^2-3 com valores y>1.
Passo 4
Determinar a imagem (contradomínio real gerado por f) — isto é útil para a pergunta (b) e para a inversa:
Imagem do ramo esquerdo: (-\infty,0) (explicado no Passo 2).
Observação: os valores 0 e os valores no intervalo (0,1) NÃO pertencem à imagem.
Passo 5
Responder (b): verificar injetividade e sobrejetividade com justificativas didáticas.
Definições rápidas (em palavras):
Injetiva: se f(a)=f(b) então a=b.
Sobrejetiva (sobre): se toda y\in\mathbb{R} tem um x\in\mathbb{R} com f(x)=y.
Bijetiva: as duas propriedades ao mesmo tempo.
Verificação de injetividade:
Cada ramo é estritamente monotônico no seu intervalo: ramo esquerdo estritamente decrescente em (-\infty,2); ramo direito estritamente crescente em (2,\infty). Assim, dentro de cada ramo não há colisões: dois x distintos no mesmo ramo não têm a mesma imagem.
As imagens dos ramos são disjuntas entre si: ramo esquerdo dá valores em (-\infty,0), ramo direito dá (1,\infty), e em x=2 temos exatamente 1. Não há intersecção entre (-\infty,0), \{1\} e (1,\infty). Portanto um valor produzido por um ramo não pode ser produzido por outro ramo.
Conclusão: se f(a)=f(b) então obrigatoriamente a e b pertencem ao mesmo ramo e aí a monotonicidade força a=b. Logo f é injetiva.
Verificação de sobrejetividade:
Já vimos que \operatorname{Im}(f)=(-\infty,0)\cup[1,\infty). Há muitos y\in\mathbb{R} que não são atingidos, por exemplo y=0 não tem pré-imagem porque nem \dfrac{1}{x-2} nem x^{2}-3 nem o ponto 1 produzem 0.
Portanto f NÃO é sobrejetiva como função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
Conclusão (b): f é injetiva mas não sobrejetiva, então não é bijetora.
Passo 6
Sobre a inversa: quando é possível definir f^{-1} como função?
É preciso que f seja bijetora entre o domínio considerado e o contradomínio considerado. Aqui f é injetiva; se restringirmos o contradomínio ao conjunto imagem \operatorname{Im}(f)=(-\infty,0)\cup[1,\infty), então f:\mathbb{R}\to\operatorname{Im}(f) é bijetiva e assim tem inversa.
Se x<2, então f(x)=\dfrac{1}{x-2}<0. Aplicando f^{-1} desse valor: f^{-1}\big(f(x)\big)=2+\dfrac{1}{\,\frac{1}{x-2}\,}=2+(x-2)=x.
Se x=2, f(2)=1 e f^{-1}(1)=2.
Se x>2, f(x)=x^{2}-3>1. Aplicando inversa: f^{-1}\big(f(x)\big)=\sqrt{(x^{2}-3)+3}=\sqrt{x^{2}}=x (escolha do sinal positivo é correta porque x>2).
Essas contas confirmam que as fórmulas achadas são coerentes.
Passo 9
Esboço do gráfico de f^{-1} (instruções para desenhar, lembrando que é reflexão de f em relação à reta y=x):
Para x<0 (domínio do ramo esquerdo da inversa):
Fórmula: f^{-1}(x)=2+\dfrac{1}{x}.
Forma: é uma hipérbole com assíntota vertical em x=0 (porque a expressão tem divisão por x) e assíntota horizontal em y=2 (quando x\to\pm\infty, \dfrac{1}{x}\to0 e f^{-1}\to2).
Observação da reflexão: a assíntota vertical x=2 do f virou assíntota horizontal y=2 em f^{-1}; a assíntota horizontal y=0 do f virou assíntota vertical x=0 em f^{-1}.
Para x=1:
Ponto isolado: f^{-1}(1)=2. No gráfico da inversa, há o ponto (1,2).
Para x>1:
Fórmula: f^{-1}(x)=\sqrt{x+3}.
É a curva raiz quadrada deslocada: domínio x>1 (não está definida para 0<x\le1 aqui), começa em x\to1^+ com f^{-1}(x)\to2^+ e cresce indefinidamente.
Geometricamente é a reflexão da parábola y=x^{2}-3 para a direita de x=2.
Resumo gráfico da inversa: para x<0 desenhar a hipérbole 2+\dfrac{1}{x} (vertical assíntota em x=0, horizontal em y=2); marcar o ponto (1,2); para x>1 desenhar a curva \sqrt{x+3} começando ligeiramente à direita de x=1 em y\approx2 e subindo.
Resposta
(a) Gráfico: para x<2\) a curva é \(y=\dfrac{1}{x-2}\) (hipérbole negativa, assíntota vertical em \(x=2\) e horizontal em \(y=0\)); em \(x=2\) há o ponto \((2,1)\); para \(x>2\) a curva é \(y=x^{2}-3\) (ramo direito da parábola, com imagem \((1,\infty)\)).\n(b) Não: \(f\) é injetiva mas não sobrejetiva (imagem \(\operatorname{Im}(f)=(-\infty,0)\cup[1,\infty)\ne\mathbb{R}\)).\n\text{(c)} Restrinja o contradomínio para \(\operatorname{Im}(f)=(-\infty,0)\cup[1,\infty)\). Então \(f^{-1}:\operatorname{Im}(f)\to\mathbb{R}\) é
\[f^{-1}(x)=\begin{cases} 2+\dfrac{1}{x}, & x<0,\\[8pt] 2, & x=1,\\[6pt] \sqrt{x+3}, & x>1, \end{cases}