Considere as funções
e
.
Valor: 3,5 pontos
(a) Determine o domínio em que podemos definir
.
(b) Determine as expressões de
e de
.
(a) Determine o domínio em que podemos definir
(b) Determine as expressões de
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções:
-
. -
.
O exercício pede:
(a) Determinar o domínio em que podemos definir .
(b) Determinar as expressões de e de
.
(a) Determinar o domínio em que podemos definir
(b) Determinar as expressões de
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida onde o denominador é diferente de zero. - A função
é um polinômio, portanto está definida para todos os números reais. - Para compor funções, a entrada (o valor da função interna) deve pertencer ao domínio da função externa.
Passo 2
Conceito importante (passo-a-passo didático sobre composição e domínio):
- Se
, então por definição . - Regra do domínio da composição: o domínio de
é o conjunto de todos os que pertencem ao domínio de e tais que pertence ao domínio de .
Em símbolos:
Vou aplicar essa regra explicitamente ao nosso caso.
Passo 3
Determinar os domínios individuais:
- A função
é um polinômio, logo
- A função
tem o denominador zero quando , então
Passo 4
Aplicando a regra ao caso
:
Isto é, devemos excluir os
tais que
. Vamos resolver
:
Fatorando:
portanto as soluções são
e
. Esses valores fazem
, o que tornaria
indefinido.
Logo o domínio de
é todos os reais exceto
:
Passo 5
Agora calcular explicitamente a expressão de
:
Por definição,
Por definição,
Observação didática: embora a expressão algébrica seja
, é essencial lembrar que o domínio dessa expressão é exatamente o que encontramos antes — os pontos onde o denominador se anula (
) devem ser excluídos.
Passo 6
Calcular
(mesmo que a pergunta (b) peça só as expressões, é útil ver também o domínio):
Por definição,
Por definição,
Domínio: como
exige
e
está definido para qualquer número real, o domínio de
é
Passo 7
Resumo rápido e dica para prova:
- Sempre lembrar: para
verificar primeiro o domínio de e depois exigir que esteja no domínio de . - Para
verificar primeiro o domínio de e depois que esteja no domínio de (no nosso caso aceita tudo, então só ficou ). - Ao escrever as expressões finais, acompanhe sempre com a indicação dos pontos excluídos (domínios), porque uma expressão racional como
pode ser enganosa se não se mencionar que estão proibidos.
Resposta
(a)
(b) ,
(b)