Considere as funções f(x)=\frac{1}{x} e g(x)=x^{2}-4.
Valor: 3,5 pontos
(a) Determine o domínio em que podemos definir f \circ g.
(b) Determine as expressões de f \circ g e de g \circ f.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções:
  • f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • g(x)=x^{2}-4.
O exercício pede:
(a) Determinar o domínio em que podemos definir f\circ g.
(b) Determinar as expressões de f\circ g e de g\circ f.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função f está definida onde o denominador é diferente de zero.
  • A função g é um polinômio, portanto está definida para todos os números reais.
  • Para compor funções, a entrada (o valor da função interna) deve pertencer ao domínio da função externa.

Passo 2

Conceito importante (passo-a-passo didático sobre composição e domínio):
  • Se h=f\circ g, então por definição h(x)=f(g(x)).
  • Regra do domínio da composição: o domínio de f\circ g é o conjunto de todos os x que pertencem ao domínio de g e tais que g(x) pertence ao domínio de f.
    Em símbolos:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{dom}(f)\}.
Vou aplicar essa regra explicitamente ao nosso caso.

Passo 3

Determinar os domínios individuais:
  • A função g(x)=x^{2}-4 é um polinômio, logo
\operatorname{dom}(g)=\mathbb{R}.
  • A função f(x)=\dfrac{1}{x} tem o denominador zero quando x=0, então
\operatorname{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Aplicando a regra ao caso f\circ g:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\{x\in\mathbb{R}\mid g(x)\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}.
Isto é, devemos excluir os x tais que g(x)=0. Vamos resolver g(x)=0:
x^{2}-4=0.
Fatorando:
x^{2}-4=(x-2)(x+2)=0,
portanto as soluções são x=2 e x=-2. Esses valores fazem g(x)=0, o que tornaria f(g(x)) indefinido.
Logo o domínio de f\circ g é todos os reais exceto x=\pm 2:
\operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,\,2\,\} = (-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty).

Passo 5

Agora calcular explicitamente a expressão de f\circ g:
Por definição,
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{x^{2}-4}.
Observação didática: embora a expressão algébrica seja \dfrac{1}{x^{2}-4}, é essencial lembrar que o domínio dessa expressão é exatamente o que encontramos antes — os pontos onde o denominador se anula ( x=\pm 2) devem ser excluídos.

Passo 6

Calcular g\circ f (mesmo que a pergunta (b) peça só as expressões, é útil ver também o domínio):
Por definição,
(g\circ f)(x)=g(f(x))= (f(x))^{2}-4 = \left(\frac{1}{x}\right)^{2}-4 = \frac{1}{x^{2}}-4.
Domínio: como f(x)=1/x exige x\neq0 e g está definido para qualquer número real, o domínio de g\circ f é
\operatorname{dom}(g\circ f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 7

Resumo rápido e dica para prova:
  • Sempre lembrar: para f\circ g verificar primeiro o domínio de g e depois exigir que g(x) esteja no domínio de f.
  • Para g\circ f verificar primeiro o domínio de f e depois que f(x) esteja no domínio de g (no nosso caso g aceita tudo, então só ficou x\neq0).
  • Ao escrever as expressões finais, acompanhe sempre com a indicação dos pontos excluídos (domínios), porque uma expressão racional como \dfrac{1}{x^{2}-4} pode ser enganosa se não se mencionar que x=\pm 2 estão proibidos.

Resposta

(a) \operatorname{dom}(f\circ g)=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,\,2\,\} = (-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)
(b) (f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-4}, (g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-4

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