Nos Exercícios de 1 a 22, faça um esboço do gráfico e ache o limite indicado, se existir; se não existir, indique a razão disto.
F(x)= \begin{cases}x^{2} & \text { se } x \leqslant 2 \\\\ 8-2 x & \text { se } 2<x\end{cases}
(a) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} F(x); (b) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} F(x); (c) \lim _{x \rightarrow 2} F(x)

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
F(x)= \begin{cases} x^{2}, & \text{se } x\le 2,\\[4pt] 8-2x, & \text{se } x>2. \end{cases}
O que é pedido:
(a) calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}F(x) (limite pela direita);
(b) calcular \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}F(x) (limite pela esquerda);
(c) calcular \displaystyle \lim_{x\to 2}F(x) (limite total, existe ou não?).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Para x\le 2 a função vale \,x^{2}\,.
  • Para x>2 a função vale \,8-2x\,.
  • A função é peça-wise (por partes), então os limites laterais podem usar expressões diferentes.]

Passo 2

Conceito e estratégia para o limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}F(x):
Quando fazemos \displaystyle \lim_{x\to 2^{+}}F(x) estamos aproximando x de 2 por valores maiores que 2 (isto é, x>2 e muito próximos de 2). Logo, para calcular esse limite usamos a expressão que vale para x>2, que é 8-2x.
Propriedade útil: funções polinomiais e lineares são contínuas em todos os pontos, então o limite quando x tende a um ponto é simplesmente a substituição direta na expressão usada naquele lado.
Cálculo:
\lim_{x\to 2^{+}}F(x)=\lim_{x\to 2^{+}}(8-2x).
Como 8-2x é contínua,
\lim_{x\to 2^{+}}(8-2x)=8-2\cdot 2.
Agora computar:
8-2\cdot 2=8-4=4.

Passo 3

Conceito e estratégia para o limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}F(x):
Quando fazemos \displaystyle \lim_{x\to 2^{-}}F(x) aproximamos x de 2 por valores menores ou iguais a 2 (isto é, x\le 2 e muito próximos de 2). Portanto usamos a expressão que vale para x\le 2, que é x^{2}.
Usando continuidade do polinômio x^{2}, o limite é a substituição direta.
Cálculo:
\lim_{x\to 2^{-}}F(x)=\lim_{x\to 2^{-}}x^{2}=\;2^{2}=4.

Passo 4

Comparação dos limites laterais e conclusão sobre o limite total \displaystyle \lim_{x\to 2}F(x):
Encontramos
\lim_{x\to 2^{+}}F(x)=4 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 2^{-}}F(x)=4.
Regra fundamental: o limite \displaystyle \lim_{x\to 2}F(x) existe se, e somente se, os limites laterais existirem e forem iguais. Como os dois laterais são iguais a 4, o limite total existe e vale 4.

Passo 5

Valor da função em x=2 e continuidade:
A definição da função diz que para x\le 2 vale x^{2}. Portanto
F(2)=2^{2}=4.
Como \displaystyle \lim_{x\to 2}F(x)=4 e F(2)=4, temos que a função é contínua em x=2. Em linguagem coloquial: as duas “peças” se encontram exatamente no mesmo ponto (2,4), sem salto.

Passo 6

Como esboçar o gráfico (passo a passo para você desenhar rápido na prova):
  1. Desenhe o ramo da esquerda que é a parábola y=x^{2} para x\le 2. Marque o ponto (2,4) e deixe-o preenchido (ponto contínuo), porque a definição inclui x=2.
  2. Desenhe o ramo da direita que é a reta y=8-2x para x>2. Avalie a reta em x=2 dando y=4; como esse ramo só vale para x>2, em x=2 a reta não inclui o ponto — mas neste caso a parábola já inclui (2,4), então graficamente não há buraco visível. Para x>2 a reta desce com inclinação -2.
  3. Verifique formas: parabola sobe à medida que |x| aumenta; reta é decrescente para a direita de 2. Ambas se encontram em (2,4).
    Assim obtém-se um esboço claro que mostra continuidade em x=2.

Resposta

(a) \displaystyle 4
(b) \displaystyle 4
(c) \displaystyle 4

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