Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
Passo 1
O enunciado dá as funções
A tarefa é ver onde f é injetora e qual destas g, S ou T é de fato sua inversa.
Passo 2
Para testar a injetividade, calculamos f’(x). Seja φ(x)=π/2−3x^2. Então f(x)=tan(φ(x))−5, logo
O fator
é sempre positivo, então o sinal de f’(x) é o de
. Isso mostra que f aumenta em
(onde x<0) e decresce em
(onde x>0). Logo f não é injetora no intervalo simétrico completo, mas é injetora em cada ramo separado.
Passo 3
Para achar a inversa geral, resolvemos y=tan(π/2−3x^2)−5. Assim
Tomando o ramo principal (k=0) e isolando x,
então
O sinal + dá g(y) e o sinal − dá S(y).
Passo 4
Como f é estritamente decrescente em
, escolhemos o ramo
ali, cuja inversa é
De modo análogo, em
a inversa é S(y). A função T(y) não surge desse processo (ela desloca em y−5).
Passo 5
Portanto, a afirmação verdadeira é que f é inversível no ramo não negativo do domínio, isto é em
, e sua inversa é g(y).
Resposta
f(x) é inversível em [0,\sqrt{\pi/3}) e a inversa é g(y).