Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-3 x^2)-5, g(y)=raizpi / 2-arctan (y+5)3, S(y)=-raizpi / 2-arctan (y+5)3, T(y)=raizpi / 2-arctan (y-5)3,
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo ( -raiz(pi / 3), raiz(pi / 3)) e a inversa é dada por g(y) é

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x)=tanl(tfracpi2-3x^2r)-5,
g(y)=raizpi2-arctan(y+5)3, S(y)=-raizpi2-arctan(y+5)3, T(y)=raizpi2-arctan(y-5)3
A tarefa é ver onde f é injetora e qual destas g, S ou T é de fato sua inversa.

Passo 2

Para testar a injetividade, calculamos f’(x). Seja φ(x)=π/2−3x^2. Então f(x)=tan(φ(x))−5, logo
f'(x)=sec^2(φ(x))cdot φ'(x)=l(1+tan^2(φ(x))r)cdot(-6x)=-6xl(1+tan^2(φ(x))r)
O fator 1+tan^2(φ(x)) é sempre positivo, então o sinal de f’(x) é o de -6x). Isso mostra que f aumenta em ( -raizpi/3,0) (onde x<0) e decresce em (0,raizpi/3)) (onde x>0). Logo f não é injetora no intervalo simétrico completo, mas é injetora em cada ramo separado.

Passo 3

Para achar a inversa geral, resolvemos y=tan(π/2−3x^2)−5. Assim
tanl(tfracpi2-3x^2r)=y+5 Longrightarrow tfracpi2-3x^2=arctan(y+5)+kpi
Tomando o ramo principal (k=0) e isolando x,
x^2=tfracpi2-arctan(y+5)3,
então
x=pmraiztfracpi2-arctan(y+5)3
O sinal + dá g(y) e o sinal − dá S(y).

Passo 4

Como f é estritamente decrescente em [0,raizpi/3)), escolhemos o ramo x>=0 ali, cuja inversa é
g(y)=raizpi2-arctan(y+5)3
De modo análogo, em ( -raizpi/3,0] a inversa é S(y). A função T(y) não surge desse processo (ela desloca em y−5).

Passo 5

Portanto, a afirmação verdadeira é que f é inversível no ramo não negativo do domínio, isto é em [0,raizpi/3)), e sua inversa é g(y).

Resposta

f(x) é inversível em [0,\sqrt{\pi/3}) e a inversa é g(y).

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