Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-3 x^2)-5, g(y)=raizpi / 2-arctan (y+5)3, S(y)=-raizpi / 2-arctan (y+5)3, T(y)=raizpi / 2-arctan (y-5)3,
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo (0, raiz(pi / 3)) e a inversa é dada por g(y).

Passo 1

O enunciado define as funções
f(x)=tanl(pi2-3x^2r)-5,
g(y)=raizpi2-arctan(y+5)3,
além de outras opções S(y) e T(y). O conteúdo é teste de invertibilidade (monotonicidade e bijetividade) e cálculo da inversa.

Passo 2

Vamos mostrar que f é estritamente monotônica em (0,raizpi/3). Calculamos a derivada:
f'(x)=ddxtanl(tfracpi2-3x^2r)=sec^2l(tfracpi2-3x^2r)cdot(-6x)
Como x>0 e sec^2(cdot)>0, temos f'(x)<0. Logo f é estritamente decrescente e, portanto, injetora no intervalo dado.

Passo 3

Agora vemos a imagem de f. Como x varia em (0,raizpi/3), temos
3x^2in(0,pi)Rightarrowpi2-3x^2inl(-tfracpi2,tfracpi2r)
Então tan varre todo R. Subtraindo 5, f também cobre R. Assim f é sobrejetora em R.

Passo 4

Para encontrar a inversa, escrevemos
y=f(x)=tanl(tfracpi2-3x^2r)-5
Isolando a tangente:
y+5=tanl(tfracpi2-3x^2r)
Como tfracpi2-3x^2in(-tfracpi2,tfracpi2), aplicamos a função inversa arctan:
arctan(y+5)=tfracpi2-3x^2
e daí
x^2=tfracpi2-arctan(y+5)3
Como x>0, escolhemos a raiz positiva:
x=raiztfracpi2-arctan(y+5)3=g(y)

Passo 5

Logo, f é bijetora em (0,raizpi/3) e sua inversa é exatamente g(y). As outras opções S e T estão descartadas por darem raiz negativa ou usarem y-5 no lugar de y+5.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados