Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
e a inversa é dada por g(y).
Passo 1
O enunciado define as funções
além de outras opções S(y) e T(y). O conteúdo é teste de invertibilidade (monotonicidade e bijetividade) e cálculo da inversa.
Passo 2
Vamos mostrar que f é estritamente monotônica em
. Calculamos a derivada:
Como
e
, temos
. Logo f é estritamente decrescente e, portanto, injetora no intervalo dado.
Passo 3
Agora vemos a imagem de f. Como
varia em
, temos
Então
varre todo
. Subtraindo 5, f também cobre
. Assim f é sobrejetora em
.
Passo 4
Para encontrar a inversa, escrevemos
Isolando a tangente:
Como
, aplicamos a função inversa
:
e daí
Como
, escolhemos a raiz positiva:
Passo 5
Logo, f é bijetora em
e sua inversa é exatamente
. As outras opções S e T estão descartadas por darem raiz negativa ou usarem
no lugar de
.
Resposta
A afirmação é verdadeira.