Considere as funções
l f(x)=tan (pi2-3 x^2)-5, g(y)=raizpi / 2-arctan (y+5)3, S(y)=-raizpi / 2-arctan (y+5)3, T(y)=raizpi / 2-arctan (y-5)3,
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
f(x) é inversível no intervalo (0, raiz(pi / 3) ) e a inversa é dada por S(y).

Passo 1

No enunciado temos as funções f(x)=tanl(tfracpi2-3x^2r)-5, g(y)=raiztfracpi/2-arctan(y+5)3, S(y)=-raiztfracpi/2-arctan(y+5)3 e T(y)=raiztfracpi/2-arctan(y-5)3. A questão pede para verificar se a afirmação “ f(x) é invertível em (0,raizpi/3) e sua inversa é S(y)” é verdadeira. Vamos usar teoria de domínio, monotonicidade e inversão de funções.

Passo 2

Para encontrar o domínio de f(x)=tanl(tfracpi2-3x^2r)-5, lembramos que tan(u) tem descontinuidades quando u=tfracpi2+kpi. Aqui u=tfracpi2-3x^2, então resolvemos
tfracpi2-3x^2=tfracpi2+kpi
que leva a
-3x^2=kpiLongrightarrow x^2=-tfrackpi3
As únicas soluções reais são para k=0 (dá x=0) e k=-1 (dá x=pmraizpi/3). Logo o domínio é

Passo 3

Calculamos a derivada para ver monotonicidade. Temos
f'(x)=ddxtanl(tfracpi2-3x^2r) =sec^2!l(tfracpi2-3x^2r)cdot(-6x)
Em 0 temos x>0 e sec^2>0, assim f'(x)<0. Ou seja, f é estritamente decrescente nesse intervalo e, portanto, invertível.

Passo 4

Para achar a inversa resolvemos y=f(x):
y+5=tanl(tfracpi2-3x^2r) Longrightarrow arctan(y+5)=tfracpi2-3x^2
Logo
3x^2=tfracpi2-arctan(y+5) Longrightarrow x=pmraiztfracpi/2-arctan(y+5)3
Como no intervalo dado x>0, escolhemos a raiz positiva, ou seja,
f^-1(y)=raiztfracpi/2-arctan(y+5)3=g(y) ",

Resposta

A afirmação é falsa. A inversa correta de f em (0,raizpi/3) é g(y)=raiz(pi/2-arctan(y+5))/3, não S(y).

Exercícios relacionados