Considere as funções
Determine qual das seguintes afirmações é verdadeira.
é inversível no intervalo
) e a inversa é dada por S(y).
Passo 1
No enunciado temos as funções
,
,
e
. A questão pede para verificar se a afirmação “
é invertível em
e sua inversa é
” é verdadeira. Vamos usar teoria de domínio, monotonicidade e inversão de funções.
Passo 2
Para encontrar o domínio de
, lembramos que
tem descontinuidades quando
. Aqui
, então resolvemos
que leva a
As únicas soluções reais são para
(dá
) e
(dá
). Logo o domínio é
Passo 3
Calculamos a derivada para ver monotonicidade. Temos
Em
temos
e
, assim
. Ou seja,
é estritamente decrescente nesse intervalo e, portanto, invertível.
Passo 4
Para achar a inversa resolvemos
:
Logo
Como no intervalo dado
, escolhemos a raiz positiva, ou seja,
Resposta
A afirmação é falsa. A inversa correta de
em
é
, não
.