Considere as funções
e
, delimitadas a valores reais de
tal que
. A diferença entre os valores máximos de
e
, nessa ordem, é igual a
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(A)
(B)
©
(D)
(E)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos duas funções:
Essas funções estão definidas para valores reais de $ x $ entre 2 e 6. Precisamos encontrar a diferença entre os valores máximos de $ g(x) $ e $ f(x) $. Para resolver isso, vamos precisar entender de funções quadráticas, logaritmos e propriedades de raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro das funções, que é $ -x^{2} + 8x - 7 $. Para que as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ sejam válidas, essa expressão precisa ser positiva, porque estamos tirando a raiz quadrada e o logaritmo nela.
Então, vamos resolver a inequação:
Multiplicando os dois lados por -1 (lembre-se que isso inverte o sinal da desigualdade):
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática para determinar onde a expressão é negativa. Resolvendo $ x^{2} - 8x + 7 = 0 $:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Portanto, a expressão $ x^{2} - 8x + 7 $ é negativa entre 1 e 7. Como nosso intervalo de $ x $ é de 2 a 6, que está dentro desse intervalo, está tudo certo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o valor máximo de $ y = -x^{2} + 8x - 7 $ no intervalo [2,6]. Como essa é uma parábola com a concavidade para baixo, o máximo ocorre no vértice.
A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice de uma parábola $ ax^{2} + bx + c $ é:
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 8 $, então:
Então, o valor máximo de $ y $ ocorre quando $ x = 4 $:
Passo 5
Agora que temos $ y_{max} = 9 $, vamos encontrar os valores máximos de $ f(x) $ e $ g(x) $.
Para $ f(x) $:
Para $ g(x) $:
Resposta
A diferença entre os valores máximos é:
Portanto, a opção correta é a letra (B)
.