Considere as funções f(x)=log 3 raiz-x^2+8 x-7 e g(x)=raizlog 3(-x^2+8 x-7), delimitadas a valores reais de x tal que 2 <= x <= 6. A diferença entre os valores máximos de g(x) e f(x), nessa ordem, é igual a
(A) 941
(B) raiz2-1
© raiz3-1
(D) 13
(E) 19

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos duas funções:
f(x) = log3 raiz-x^2 + 8x - 7
g(x) = raizlog3(-x^2 + 8x - 7)
Essas funções estão definidas para valores reais de $ x $ entre 2 e 6. Precisamos encontrar a diferença entre os valores máximos de $ g(x) $ e $ f(x) $. Para resolver isso, vamos precisar entender de funções quadráticas, logaritmos e propriedades de raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro das funções, que é $ -x^{2} + 8x - 7 $. Para que as funções $ f(x) $ e $ g(x) $ sejam válidas, essa expressão precisa ser positiva, porque estamos tirando a raiz quadrada e o logaritmo nela.
Então, vamos resolver a inequação:
-x^2 + 8x - 7
Multiplicando os dois lados por -1 (lembre-se que isso inverte o sinal da desigualdade):
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes dessa equação quadrática para determinar onde a expressão é negativa. Resolvendo $ x^{2} - 8x + 7 = 0 $:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
x^2 - 8x + 7 = 0
Então, as raízes são:
x = 8 pm raiz64 - 282 = 8 pm raiz362 = 8 pm 62
x = 8 + 62 = 7
Portanto, a expressão $ x^{2} - 8x + 7 $ é negativa entre 1 e 7. Como nosso intervalo de $ x $ é de 2 a 6, que está dentro desse intervalo, está tudo certo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor máximo de $ y = -x^{2} + 8x - 7 $ no intervalo [2,6]. Como essa é uma parábola com a concavidade para baixo, o máximo ocorre no vértice.
A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice de uma parábola $ ax^{2} + bx + c $ é:
y = -x^2 + 8x - 7
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 8 $, então:
x
Então, o valor máximo de $ y $ ocorre quando $ x = 4 $:
ax^2 + bx + c

Passo 5

Agora que temos $ y_{max} = 9 $, vamos encontrar os valores máximos de $ f(x) $ e $ g(x) $.
Para $ f(x) $:
ymax = 9
Para $ g(x) $:
f(x)

Resposta

A diferença entre os valores máximos é:
raiz2 - 1
Portanto, a opção correta é a letra (B) raiz2 - 1.

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