Considere a superfície S subset R^3 determinada pela equação
e^y^2-z^2+4 y z=5
Determine uma equação do plano tangente à superfície S no ponto p0=(2,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície $ S $ definida por $ e{y{2}-z^{2}} + 4yz = 5 $ no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto $ p_{0} = (2,1,1) $ realmente está na superfície $ S $. Isso significa que, ao substituir $ x = 2 $, $ y = 1 $ e $ z = 1 $ na equação da superfície, a igualdade deve ser verdadeira.
Substituindo:
p0 = (2,1,1)
Como $ 5 = 5 $, o ponto está na superfície. Então, podemos continuar.

Passo 3

Agora, vamos achar as derivadas parciais da função que define a superfície. Vamos considerar a função implícita:
F(x, y, z) = e^y^2 - z^2 + 4yz - 5
O plano tangente vai ser definido usando as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a $ x $:
x
Porque $ F $ não depende de $ x $.
  1. Derivada parcial em relação a $ y $:
Fx = partial Fpartial x = 0
  1. Derivada parcial em relação a $ z $:
F

Passo 5

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $:
  1. $ F_{x}(2,1,1) = 0 $
  2. $ F_{y}(2,1,1) $:
p0 = (2,1,1)
  1. $ F_{z}(2,1,1) $:
Fx(2,1,1) = 0

Passo 6

Com as derivadas avaliadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Fx(p0)(x - x0) + Fy(p0)(y - y0) + Fz(p0)(z - z0) = 0
Substituindo os valores:
0 cdot (x - 2) + 6 cdot (y - 1) + 2 cdot (z - 1) = 0
Simplificando:
6(y - 1) + 2(z - 1) = 0
6y - 6 + 2z - 2 = 0
6y + 2z = 8
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
3y + z = 4

Resposta

A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $ é:
S

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