Considere a superfície
determinada pela equação
Determine uma equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação do plano tangente à superfície $ S $ definida por $ e{y{2}-z^{2}} + 4yz = 5 $ no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto $ p_{0} = (2,1,1) $ realmente está na superfície $ S $. Isso significa que, ao substituir $ x = 2 $, $ y = 1 $ e $ z = 1 $ na equação da superfície, a igualdade deve ser verdadeira.
Substituindo:
Como $ 5 = 5 $, o ponto está na superfície. Então, podemos continuar.
Passo 3
Agora, vamos achar as derivadas parciais da função que define a superfície. Vamos considerar a função implícita:
O plano tangente vai ser definido usando as derivadas parciais dessa função em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a $ x $:
Porque $ F $ não depende de $ x $.
- Derivada parcial em relação a $ y $:
- Derivada parcial em relação a $ z $:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $:
-
$ F_{x}(2,1,1) = 0 $
-
$ F_{y}(2,1,1) $:
- $ F_{z}(2,1,1) $:
Passo 6
Com as derivadas avaliadas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Podemos dividir tudo por 2 para simplificar:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ p_{0} = (2,1,1) $ é: