Considere as funções f(x)=x^2-5 x+6 e g(x)=x+2 para as questões de 6 a 9.
Verifique algebricamente se f e g são funções injetoras.

Passo 1

O enunciado dá as funções
f(x) = x^2 - 5x + 6
e
g(x) = x + 2
e pede para verificar algebricamente se são injetoras. Uma função h é injetora se, sempre que h(a)=h(b), então necessariamente a=b. A estratégia será resolver f(a)=f(b) e g(a)=g(b) e checar se a única solução é a=b.

Passo 2

Para f, começamos por igualar
f(a)=f(b)
ou seja
a^2 - 5a + 6 ;=; b^2 - 5b + 6
Subtraindo b^2-5b+6 de ambos os lados:
a^2 - b^2 ;-;5(a-b) = 0
e fatorando a^2-b^2=(a-b)(a+b):
(a-b)(a+b) -5(a-b)=0 Longrightarrow (a-b)l(a+b-5r)=0

Passo 3

A equação (a-b)(a+b-5)=0 tem duas possibilidades de solução:
  1. a-b=0, ou seja a=b;
  2. a+b-5=0, ou seja b=5-a.
    Como existe a segunda solução com aneq b (por exemplo a=2 e b=3), concluímos que há pares distintos com f(a)=f(b). Logo, f não é injetora.

Passo 4

Para g, igualamos
g(a)=g(b)
ou seja
a+2 = b+2
Subtraindo 2 de ambos os lados vem
a = b
Aqui não aparece nenhuma outra possibilidade além de a=b, então g é injetora.

Resposta

f não é injetora.
g é injetora.

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