Considere as funções S(x), P(x), s(x) do exercício anterior. Expresse cada uma das seguintes funções em termos de S(x), P(x), s(x) usando somente os sinais, + * e circ. (Por exemplo: sen^2(x) = S(s(x)) = (S o s)(x)
f(y) = sen(sen(sen(2^(2^(2^(sen(y)))))))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente reescrever a função usando apenas as funções , e , além das operações de adição, multiplicação e composição de funções ( ). Aqui, estamos trabalhando com funções trigonométricas e exponenciais, e vamos precisar entender como usar a composição para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada função representa:
  • representa a função seno, ou seja, .
  • representa a função exponencial de base 2, então .
  • também representa a função seno, similar a .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função passo a passo para reescrevê-la usando , e .
A função original é:

Passo 4

Começamos de dentro para fora. A parte mais interna é , que podemos escrever como .
Então:
Aqui, usamos para .

Passo 5

Agora, vamos lidar com . Podemos escrever isso como , já que .
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta na função :
Usando para , temos:

Passo 7

Agora, utilizando a composição de funções ( ), podemos simplificar a escrita:

Resposta

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