Considere as funções a seguir e determine os limites indicados.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule três limites. Vou listar exatamente o que é pedido e quais expressões aparecem:
Essas são as três quantidades que preciso determinar.]
Passo 2
Primeiro preciso lembrar o que significa um limite do tipo
. Isso quer dizer que
se aproxima de
vindo pela esquerda, ou seja por valores menores que
. Quando eu tiver uma função que é uma fração com denominador que tende a zero, o sinal do denominador ao aproximar-se de
determina se o valor da fração tende para
ou para
. Vamos aplicar isso ao caso (i).
Passo 3
Analisando a expressão de (i):
Se
, então
e podemos escrever
com
pequeno. Assim
que é um número negativo com módulo pequeno. Logo
é um número negativo com grande módulo, isto é tende para
. Conclusão para (i):
Passo 4
Agora passo a limites no infinito de funções racionais (frações de polinômios), como em (ii) e (iii). Regra prática e muito útil: comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
- Se os graus são iguais, o limite quando
é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau. - Uma maneira algébrica de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente na fração — os termos com no denominador vão a zero quando .
Vou aplicar isso em (ii).
Passo 5
Para (ii) tenho
O maior grau é
. Divido numerador e denominador por
:
Quando
temos
e
. Portanto o quociente tende para
Isso corresponde exatamente à razão entre os coeficientes dos termos
. Conclusão para (ii):
Passo 6
Agora (iii). Novamente aplico a mesma técnica: comparar graus e dividir pelo maior termo. A expressão é
O maior grau é
. Dividindo numerador e denominador por
obtenho
Quando
os termos
e
vão para
(observe que
é sempre não negativo e tende a
mesmo para
negativo). Assim o quociente tende para
Uma nota sobre sinal: apesar de
ser negativo, os termos dominantes são
e
; para
muito negativo ambos são grandes em módulo e negativos, de modo que o sinal se cancela no quociente, ficando positivo
. Conclusão para (iii):