Considere as funções a seguir e determine os limites indicados.
\begin{aligned} & \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{1}{x-2} \\\ & \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{2}+5 x}{6 x^{2}-4} \\\ & \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x^{3}-x}{4 x^{3}+7} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule três limites. Vou listar exatamente o que é pedido e quais expressões aparecem:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad \lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x-2},\\[4pt] &\text{(ii)}\quad \lim_{x\to \infty} \frac{3x^{2}+5x}{6x^{2}-4},\\[4pt] &\text{(iii)}\quad \lim_{x\to -\infty} \frac{2x^{3}-x}{4x^{3}+7}. \end{aligned}
Essas são as três quantidades que preciso determinar.]

Passo 2

Primeiro preciso lembrar o que significa um limite do tipo \lim_{x\to 2^{-}}. Isso quer dizer que x se aproxima de 2 vindo pela esquerda, ou seja por valores menores que 2. Quando eu tiver uma função que é uma fração com denominador que tende a zero, o sinal do denominador ao aproximar-se de 2 determina se o valor da fração tende para +\infty ou para -\infty. Vamos aplicar isso ao caso (i).

Passo 3

Analisando a expressão de (i):
\frac{1}{x-2}.
Se x\to 2^{-}, então x<2 e podemos escrever x=2-h com h>0 pequeno. Assim
x-2 = -h,
que é um número negativo com módulo pequeno. Logo 1/(x-2)=1/(-h) é um número negativo com grande módulo, isto é tende para -\infty. Conclusão para (i):
\lim_{x\to 2^{-}} \frac{1}{x-2} = -\infty.

Passo 4

Agora passo a limites no infinito de funções racionais (frações de polinômios), como em (ii) e (iii). Regra prática e muito útil: comparar os graus dos polinômios do numerador e do denominador.
  • Se os graus são iguais, o limite quando x\to\pm\infty é a razão entre os coeficientes dos termos de maior grau.
  • Uma maneira algébrica de ver isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente na fração — os termos com x no denominador vão a zero quando |x|\to\infty.
Vou aplicar isso em (ii).

Passo 5

Para (ii) tenho
\frac{3x^{2}+5x}{6x^{2}-4}.
O maior grau é 2. Divido numerador e denominador por x^{2}:
\frac{3x^{2}+5x}{6x^{2}-4}=\frac{3+\dfrac{5}{x}}{6-\dfrac{4}{x^{2}}}.
Quando x\to\infty temos \dfrac{5}{x}\to 0 e \dfrac{4}{x^{2}}\to 0. Portanto o quociente tende para
\frac{3+0}{6-0}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.
Isso corresponde exatamente à razão entre os coeficientes dos termos x^{2}. Conclusão para (ii):
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+5x}{6x^{2}-4}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora (iii). Novamente aplico a mesma técnica: comparar graus e dividir pelo maior termo. A expressão é
\frac{2x^{3}-x}{4x^{3}+7}.
O maior grau é 3. Dividindo numerador e denominador por x^{3} obtenho
\frac{2x^{3}-x}{4x^{3}+7}=\frac{2-\dfrac{1}{x^{2}}}{4+\dfrac{7}{x^{3}}}.
Quando x\to -\infty os termos \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{7}{x^{3}} vão para 0 (observe que \dfrac{1}{x^{2}} é sempre não negativo e tende a 0 mesmo para x negativo). Assim o quociente tende para
\frac{2-0}{4+0}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.
Uma nota sobre sinal: apesar de x ser negativo, os termos dominantes são 2x^{3} e 4x^{3}; para x muito negativo ambos são grandes em módulo e negativos, de modo que o sinal se cancela no quociente, ficando positivo 2/4. Conclusão para (iii):
\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^{3}-x}{4x^{3}+7}=\frac{1}{2}.

Resposta

-\infty
\tfrac{1}{2}
\tfrac{1}{2}

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