Usando a definição formal, calcule
para
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a definição formal da derivada, para a função
no ponto
.
Informações dadas:
Passo 2
A definição formal da derivada de
no ponto
é
Explicando cada pedaço:
é um incremento pequeno (positivo ou negativo) que aproxima
de
. A fração
mede a inclinação média entre
e
; o limite quando
dá a inclinação instantânea (a derivada). Outra forma equivalente é
mas como o enunciado pediu, vamos usar a forma com
.
Passo 3
Calculo de
. Substituo
em
:
Passo 4
Calculo de
. Substituo
:
Agora faço a expansão passo a passo:
Somando:
Passo 5
Formo a diferença do numerador da definição:
A diferença quociente fica
Fatorando
no numerador:
Como estamos tomando limite com
e
dentro da expressão, podemos cancelar
:
Passo 6
Agora tiro o limite quando
:
Justificativa rápida:
é uma função polinomial em
, funções polinomiais são contínuas, então o limite ao aproximar
de
é só substituir
.
Passo 7
Resumo e checagem (opcional): usando regras de derivação conhecidas,
e
, então
e
, confirmando o resultado obtido pela definição.