Usando a definição formal, calcule f^{\prime}(a) para
f(x)=x^{2}-5 x
no ponto a=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f^{\prime}(a) usando a definição formal da derivada, para a função
f(x)=x^{2}-5x
no ponto a=4.
Informações dadas:
f(x)=x^{2}-5x,\qquad a=4.

Passo 2

A definição formal da derivada de f no ponto a é
f^{\prime}(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando cada pedaço: h é um incremento pequeno (positivo ou negativo) que aproxima a+h de a. A fração \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} mede a inclinação média entre x=a e x=a+h; o limite quando h\to0 dá a inclinação instantânea (a derivada). Outra forma equivalente é
f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
mas como o enunciado pediu, vamos usar a forma com h.

Passo 3

Calculo de f(4). Substituo x=4 em f(x)=x^{2}-5x:
f(4)=4^{2}-5\cdot4=16-20=-4.

Passo 4

Calculo de f(4+h). Substituo x=4+h:
f(4+h)=(4+h)^{2}-5(4+h).
Agora faço a expansão passo a passo:
(4+h)^{2}=16+8h+h^{2},
-5(4+h)=-20-5h.
Somando:
f(4+h)=16+8h+h^{2}-20-5h=(-4)+3h+h^{2}.

Passo 5

Formo a diferença do numerador da definição:
f(4+h)-f(4)=\bigl((-4)+3h+h^{2}\bigr)-(-4)=3h+h^{2}.
A diferença quociente fica
\frac{f(4+h)-f(4)}{h}=\frac{3h+h^{2}}{h}.
Fatorando h no numerador:
\frac{3h+h^{2}}{h}=\frac{h(3+h)}{h}.
Como estamos tomando limite com h\to0 e h\neq0 dentro da expressão, podemos cancelar h:
\frac{h(3+h)}{h}=3+h.

Passo 6

Agora tiro o limite quando h\to0:
f^{\prime}(4)=\lim_{h\to0}(3+h)=3+0=3.
Justificativa rápida: 3+h é uma função polinomial em h, funções polinomiais são contínuas, então o limite ao aproximar h de 0 é só substituir h=0.

Passo 7

Resumo e checagem (opcional): usando regras de derivação conhecidas, \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x e \dfrac{d}{dx}(-5x)=-5, então f'(x)=2x-5 e f'(4)=2\cdot4-5=8-5=3, confirmando o resultado obtido pela definição.

Resposta

f^{\prime}(4)=3

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