Calcule a primeira derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primeira derivada de cada uma das funções abaixo. As funções dadas são:
Lista das tarefas: derivar cada função em relação à sua variável indicada (para
derivar em
; para as demais, em
ou
conforme escrito).
Passo 2
Regra básica que usaremos primeiro: a regra do poder (power rule). Ela diz que, para
real,
Além disso, a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Vamos aplicar isso em
Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 3
Princípio útil: potências com expoente negativo também obedecem à regra do poder. Para
é mais simples reescrever como produto com potência:
Agora derivamos cada termo usando a regra do poder:
Somando:
Se quiser em forma de fração comum, podemos colocar em denominador
:
Passo 4
Regra da constante: se
é constante então
.
Aplicando em
Aplicando em
onde
é constante, usando a regra do poder com
:
Passo 5
Agora funções trigonométricas e regra da cadeia. Lembrete:
onde
é função de
e
é sua derivada (isso é a regra da cadeia).
Considere
Para
temos
com
, então
Para
,
Somando as duas derivadas:
Passo 6
Regra do produto: se
e
são diferenciáveis, então
Aplique em
tomando
e
. Temos
e
. Portanto
Passo 7
Derivadas de funções trigonométricas menos comuns: lembranças úteis
Agora derive
Derivando termo a termo e aplicando as fórmulas:
Somando: