Calcule a primeira derivada de cada função:
\begin{aligned} & f(t)=t^{3}-2 t^{2}+5 t \\\ & g(x)=\frac{3 x+1}{x^{2}} \\\ & A(r)=\pi r^{3} \\\ & f(x)=\sin (2 x)+\cos x \\\ & g(x)=x \tan x \\\ & h(x)=5 \operatorname{sec} x-3 \cot x \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira derivada de cada uma das funções abaixo. As funções dadas são:
\begin{aligned} & f(t)=t^{3}-2 t^{2}+5 t\\\ & g(x)=\frac{3 x+1}{x^{2}}\\\ & A(r)=\pi r^{3}\\\ & f(x)=\sin (2 x)+\cos x\\\ & g(x)=x \tan x\\\ & h(x)=5 \operatorname{sec} x-3 \cot x \end{aligned}
Lista das tarefas: derivar cada função em relação à sua variável indicada (para f(t) derivar em t; para as demais, em x ou r conforme escrito).

Passo 2

Regra básica que usaremos primeiro: a regra do poder (power rule). Ela diz que, para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Além disso, a derivada de soma é soma das derivadas e a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Vamos aplicar isso em
f(t)=t^{3}-2 t^{2}+5 t.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\big(t^{3}\big)=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}\big(-2t^{2}\big)=-2\cdot 2t=-4t,\qquad \frac{d}{dt}\big(5t\big)=5.
Portanto
f'(t)=3t^{2}-4t+5.

Passo 3

Princípio útil: potências com expoente negativo também obedecem à regra do poder. Para
g(x)=\frac{3x+1}{x^{2}},
é mais simples reescrever como produto com potência:
g(x)=(3x+1)x^{-2}=3x\cdot x^{-2}+1\cdot x^{-2}=3x^{-1}+x^{-2}.
Agora derivamos cada termo usando a regra do poder:
\frac{d}{dx}\big(3x^{-1}\big)=3\cdot(-1)x^{-2}=-3x^{-2},
\frac{d}{dx}\big(x^{-2}\big)=-2x^{-3}.
Somando:
g'(x)=-3x^{-2}-2x^{-3}.
Se quiser em forma de fração comum, podemos colocar em denominador x^{3}:
g'(x)=-\frac{3}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}}=-\frac{3x+2}{x^{3}}.

Passo 4

Regra da constante: se c é constante então \frac{d}{dr}\big(c\cdot r^{n}\big)=c\cdot n r^{n-1}.
Aplicando em
A(r)=\pi r^{3},
onde \pi é constante, usando a regra do poder com n=3:
A'(r)=\pi\cdot 3 r^{2}=3\pi r^{2}.

Passo 5

Agora funções trigonométricas e regra da cadeia. Lembrete:
\frac{d}{dx}\sin u=\cos u\cdot u',\qquad \frac{d}{dx}\cos u=-\sin u\cdot u',
onde u é função de x e u' é sua derivada (isso é a regra da cadeia).
Considere
f(x)=\sin(2x)+\cos x.
Para \sin(2x) temos u=2x com u'=2, então
\frac{d}{dx}\sin(2x)=\cos(2x)\cdot 2=2\cos(2x).
Para \cos x,
\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Somando as duas derivadas:
f'(x)=2\cos(2x)-\sin x.

Passo 6

Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v+u\,v'.
Aplique em
g(x)=x\tan x,
tomando u(x)=x e v(x)=\tan x. Temos u'(x)=1 e \frac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^{2}x. Portanto
g'(x)=1\cdot \tan x + x\cdot \operatorname{sec}^{2}x=\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x.

Passo 7

Derivadas de funções trigonométricas menos comuns: lembranças úteis
\frac{d}{dx}\operatorname{sec} x=\operatorname{sec} x\tan x,\qquad \frac{d}{dx}\cot x=-\csc^{2}x.
Agora derive
h(x)=5\operatorname{sec} x-3\cot x.
Derivando termo a termo e aplicando as fórmulas:
\frac{d}{dx}\big(5\operatorname{sec} x\big)=5\cdot \operatorname{sec} x\tan x,
\frac{d}{dx}\big(-3\cot x\big)=-3\cdot(-\csc^{2}x)=3\csc^{2}x.
Somando:
h'(x)=5\operatorname{sec} x\tan x+3\csc^{2}x.

Resposta

f'(t)=3t^{2}-4t+5
g'(x)=-\dfrac{3x+2}{x^{3}}
A'(r)=3\pi r^{2}
f'(x)=2\cos(2x)-\sin x
g'(x)=\tan x + x\operatorname{sec}^{2}x
h'(x)=5\operatorname{sec} x\tan x+3\csc^{2}x

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