Considere as funções f e g, de variável real x, definidas, respectivamente, por
f(x)=e^x^2+a x+b e g(x)=ln (a x3 b)
em que a e b são números reais. Se f(-1)=1=f(-2), então pode-se afirmar sobre a função composta (g circ f)(x) que: (g circ f)(x) admite dois zeros reais distintos.

Passo 1

O enunciado diz que temos as funções de variável real
f(x)=e{x2 + a x + b}
e
g(x)=\ln\bigl(\tfrac{a x}{3b}\bigr),
e que f(-1)=1=f(-2). O objetivo é determinar a e b, depois montar g∘f e verificar se ele tem dois zeros reais distintos.

Passo 2

Impondo f(-1)=1 temos
f(-1)=e^(-1)^2 + a(-1) + b=1
Para que a exponencial valha 1, o expoente tem de ser zero. Logo:
1 - a + b = 0 Longrightarrow b = a - 1

Passo 3

Impondo f(-2)=1 temos
f(-2)=e^(-2)^2 + a(-2) + b=1
Logo o expoente vale zero:
4 - 2a + b = 0 Longrightarrow b = 2a - 4
Igualando as duas expressões para b:
a - 1 = 2a - 4 Longrightarrow a = 3
e então
b = a - 1 = 3 - 1 = 2

Passo 4

Com a=3 e b=2, as funções ficam
f(x)=e^x^2 + 3x + 2
e
g(x)=lnl(tfrac3x3cdot2r)=lnl(tfracx2r)
Então o composto é
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=lnl(tfracf(x)2r) =lnl(tfrace^x^2+3x+22r) = x^2 + 3x + 2 - ln2

Passo 5

Para ver quantos zeros reais esse composto tem, resolvemos
x^2 + 3x + 2 - ln2 = 0
O discriminante é
De 0
Como De0, a equação tem duas raízes reais e distintas dadas por
x = -3 pm raiz1 + 4ln22

Passo 6

Portanto, o composto (g\circ f)(x) admite dois zeros reais distintos.

Resposta

As raízes de (g\circ f)(x)=0 são
x=-3pmraiz1+4ln22,
olhando que o discriminante é positivo, concluímos que há dois zeros reais distintos.

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