Considere as funções
e
, de variável real
, definidas, respectivamente, por
em que
e
são números reais. Se
, então pode-se afirmar sobre a função composta
que:
admite dois zeros reais distintos.
Passo 1
O enunciado diz que temos as funções de variável real
f(x)=e{x2 + a x + b}
e
g(x)=\ln\bigl(\tfrac{a x}{3b}\bigr),
e que f(-1)=1=f(-2). O objetivo é determinar a e b, depois montar g∘f e verificar se ele tem dois zeros reais distintos.
f(x)=e{x2 + a x + b}
e
g(x)=\ln\bigl(\tfrac{a x}{3b}\bigr),
e que f(-1)=1=f(-2). O objetivo é determinar a e b, depois montar g∘f e verificar se ele tem dois zeros reais distintos.
Passo 2
Impondo f(-1)=1 temos
Para que a exponencial valha 1, o expoente tem de ser zero. Logo:
Passo 3
Impondo f(-2)=1 temos
Logo o expoente vale zero:
Igualando as duas expressões para b:
e então
Passo 4
Com a=3 e b=2, as funções ficam
e
Então o composto é
Passo 5
Para ver quantos zeros reais esse composto tem, resolvemos
O discriminante é
Como
, a equação tem duas raízes reais e distintas dadas por
Passo 6
Portanto, o composto (g\circ f)(x) admite dois zeros reais distintos.
Resposta
As raízes de (g\circ f)(x)=0 são
olhando que o discriminante é positivo, concluímos que há dois zeros reais distintos.