Sejam x e y dois números reais, com 0, satisfazendo sen y=45 e 11 sen x+5 cos (y-x)=3. Determine: sen 2 x

Passo 1

O enunciado diz que temos dois números reais x e y com 0 < x < pi2 e pi2 < y < pi tais que sin y=tfrac45 e 11sin x+5cos(y-x)=3. O conteúdo é resolução de equação trigonométrica usando identidades de soma e o método de soma de senos e cossenos.

Passo 2

Como y está em (pi2,pi) e sin y=tfrac45, temos o cosseno negativo:
cos y=-raiz1-l(tfrac45r)^2=-tfrac35
Expandindo cos(y-x) pela identidade cos(y-x)=cos ycos x+sin ysin x e substituindo na equação:
$$
11\sin x+5\cos(y-x)=11\sin x+5\Bigl(\cos y\cos x+\sin y\sin x\Bigr)=11\sin x+5\Bigl(-\tfrac{3}{5}\cos x+\tfrac{4}{5}\sin x\Bigr)
11sin x+5cos(y-x)=11sin x+5l(cos ycos x+sin ysin xr)=11sin x+5l(-tfrac35cos x+tfrac45sin xr) á
11\sin x-3\cos x+4\sin x=3\quad\Longrightarrow\quad15\sin x-3\cos x=3\quad\Longrightarrow\quad5\sin x-\cos x=1
$$

Passo 3

Para resolver 5sin x-cos x=1 usamos o método da combinação linear. Definimos R=raiz5^2+(-1)^2=raiz26 e um ângulo phi com
cosphi=5raiz26,sinphi=1raiz26
Então podemos escrever
$$
5\sin x-\cos x=\sqrt{26},\sin(x-\phi)
5sin x-cos x=raiz26,sin(x-phi) çã
\sqrt{26},\sin(x-\phi)=1\quad\Longrightarrow\quad\sin(x-\phi)=\frac{1}{\sqrt{26}}=\sin\phi
$$

Passo 4

Como 0 e 0, concluímos x-phi=phi ou seja x=2phi.
Calculamos sin2x=sin(4phi). Primeiro achamos sin2phi e cos2phi:
sin2phi=2sinphicosphi=2cdot1raiz26cdot5raiz26=513,
cos2phi=cos^2phi-sin^2phi=2526-126=2426=1213
Usando sin4phi=2sin2phicos2phi obtemos
sin2x=sin(4phi)=2cdot513cdot1213=120169

Resposta

tfrac120169

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