Sejam
e
dois números reais, com
, satisfazendo sen
. Determine:
Passo 1
O enunciado diz que temos dois números reais x e y com 0 < x <
e
< y <
tais que
e
. O conteúdo é resolução de equação trigonométrica usando identidades de soma e o método de soma de senos e cossenos.
Passo 2
Como
está em
e
, temos o cosseno negativo:
Expandindo
$$
11\sin x+5\cos(y-x)=11\sin x+5\Bigl(\cos y\cos x+\sin y\sin x\Bigr)=11\sin x+5\Bigl(-\tfrac{3}{5}\cos x+\tfrac{4}{5}\sin x\Bigr)
11\sin x-3\cos x+4\sin x=3\quad\Longrightarrow\quad15\sin x-3\cos x=3\quad\Longrightarrow\quad5\sin x-\cos x=1
$$
Passo 3
Para resolver
usamos o método da combinação linear. Definimos
e um ângulo
com
Então podemos escrever
$$
5\sin x-\cos x=\sqrt{26},\sin(x-\phi)
\sqrt{26},\sin(x-\phi)=1\quad\Longrightarrow\quad\sin(x-\phi)=\frac{1}{\sqrt{26}}=\sin\phi
$$
Passo 4
Como
e
, concluímos
ou seja
.
Calculamos . Primeiro achamos
e
:
Calculamos
Usando