Seja L: R^+ R uma função logarítmica. Considere as afirmativas abaixo:
i. Para todo x>0, vale que L(1x)=-L(x).
ii. L(1)=0.
iii. L(x+y)=L(x) cdot L(y), para quaisquer x, y reais positivos.
Assinale a alternativa que indica todas as afirmativas corretas: São corretas apenas as afirmativas (ii) e (iii).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função logarítmica L: R^+to R, ou seja, satisfaz L(xy)=L(x)+L(y) para quaisquer x,y>0. Precisamos verificar quais das afirmações i, ii e iii são verdadeiras.

Passo 2

Usando a propriedade fundamental dos logaritmos, temos
Ll(1r)=L(1cdot1)=L(1)+L(1)
Logo,
L(1)=0
Isto mostra que a afirmativa ii é verdadeira.

Passo 3

Para verificar i, note que 1= xcdottfrac1x, então
L(1)=Ll(xcdottfrac1xr)=L(x)+Ll(tfrac1xr)
Como já vimos que L(1)=0, segue
Ll(tfrac1xr)=-L(x)
Portanto, a afirmativa i também é verdadeira.

Passo 4

A afirmativa iii diz que L(x+y)=L(x)cdot L(y). Mas a definição de logaritmo não dá essa relação: typically L(x+y)ne L(x)cdot L(y). Logo, iii é falsa.

Resposta

Somente as afirmativas i e ii são corretas.

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