Considere as funções vetoriais F, G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por F(t)=\left(t, t^{2}, 1\right) e G(t)= ( \cos t, \sin t, t ), e a função escalar real h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por h(t)=t^{\prime}. Calcule as seguintes operações:
O produto da função vetorial F pela função escalar h, ou seja, (h F)(t).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
  • F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 dada por F(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;1\bigr).
  • G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 dada por G(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr) (não será usada aqui, mas está no enunciado).
  • h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} dada por h(t)=t'.
O que o exercício pede: calcular o produto da função escalar h pela função vetorial F, ou seja, encontrar (hF)(t).

Passo 2

Definição e regra que vamos usar (conceito importante): se h:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é uma função escalar e F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3 é uma função vetorial com componentes F(t)=(F_1(t),F_2(t),F_3(t)), então o produto hF é a função vetorial dada componente a componente por
(hF)(t)=h(t)\,F(t)=\bigl(h(t)F_1(t),\;h(t)F_2(t),\;h(t)F_3(t)\bigr).
Isto significa: multiplica-se o valor escalar h(t) por cada componente do vetor F(t). Essa é a regra padrão de multiplicação de escalar por vetor.

Passo 3

Interpretar h(t)=t'. Normalmente t' significa a derivada da função t em relação a t. Considere a função identidade u(t)=t. A derivada de u é
u'(t)=\frac{d}{dt}t=1,
porque a taxa de variação da função identidade é constante e igual a 1. Assim, interpretando t' como a derivada de t, temos
h(t)=t'=1\quad\text{para todo }t.
(Se alguém escrever t' isso costuma mesmo significar d/dt\,(t).)

Passo 4

Aplicar a regra do Passo 2 usando h(t)=1 e as componentes de F. Substituindo:
(hF)(t)=h(t)\,F(t)=1\cdot\bigl(t,\;t^{2},\;1\bigr).
Multiplicar por 1 não altera os componentes, então
(hF)(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;1\bigr).

Passo 5

Comentário didático-final (para fixar): o produto de um escalar constante 1 por qualquer vetor não muda o vetor. Em prova, identifique primeiro o valor de h(t) (aqui 1), depois faça a multiplicação componente a componente, sem pânico — é direto.

Resposta

(hF)(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;1\bigr)

Exercícios relacionados