a) Defina o que significa uma funçāo vetorial F: A \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{n} set continua em um ponto \mathrm{t}_{0} \in \mathcal{A}.
b) Dé um exemplo explicito de uma funçio vetorial e de um ponto t_{0} \mathrm{em} seu dominio tal que a funçāo nāo seja continua nesse ponto. Justilique matematicamente o motivo da descontinuidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) Dar a definição do que significa que uma função vetorial F:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n seja contínua em um ponto t_0\in A.
(b) Fornecer um exemplo explícito de uma função vetorial e um ponto t_0 em seu domínio tal que a função NÃO seja contínua em t_0, e justificar matematicamente a descontinuidade.
Informações dadas (que devo usar): a função tem domínio A\subset\mathbb{R}, a imagem está em \mathbb{R}^n e o ponto de verificação de continuidade é t_0\in A.
Passo 2
Primeiro, preciso explicar como medir “distância” em \mathbb{R}^n, porque continuidade envolve aproximação. Usamos a norma euclidiana.
Definição da norma euclidiana: para x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n,
\|x\| = \sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}.
Essa norma mede a distância de x à origem. Para dois pontos x,y\in\mathbb{R}^n a distância entre eles é \|x-y\|.
Explicação simples: \|x-y\| é um único número que diz “quão longe” está x de y. Quando falamos \|F(t)-F(t_0)\|<\varepsilon estamos dizendo que a imagem de t está dentro da bola de raio \varepsilon ao redor de F(t_0).
Passo 3
Agora escrevo a definição \varepsilon-\delta de continuidade para funções vetoriais e explico cada parte.
Definição (forma \varepsilon-\delta): A função F:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n é contínua em t_0\in A se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo t\in A,
\varepsilon>0 é a precisão desejada na imagem (quão perto queremos que F(t) esteja de F(t_0)).
\delta>0 é a tolerância na entrada t (quão perto t deve estar de t_0).
A implicação diz: se t está dentro de \delta de t_0 (e t pertence ao domínio A), então F(t) estará dentro de \varepsilon de F(t_0).
Forma limite: equivalentemente, F é contínua em t_0 se
\lim_{t\to t_0} F(t) = F(t_0),
o que significa que os valores F(t) convergem para F(t_0) quando t se aproxima de t_0 por valores de A.
Passo 4
Um fato muito útil (e prático para provas) é a equivalência entre continuidade vetorial e continuidade componente a componente. Vou enunciar e provar de modo direto.
Escreva F por componentes: suponha
F(t) = \big(f_1(t), f_2(t),\dots,f_n(t)\big),
onde cada f_i:A\to\mathbb{R}.
Proposição: F é contínua em t_0 se, e somente se, cada f_i é contínua em t_0.
Demonstração (duas implicações):
Se cada f_i é contínua em t_0, então F é contínua em t_0.
Prova: dado \varepsilon>0 queremos \delta>0 tal que \|F(t)-F(t_0)\|<\varepsilon quando |t-t_0|<\delta.
Observe que
Como cada f_i é contínua, para i=1,\dots,n existe \delta_i>0 tal que |t-t_0|<\delta_i implica |f_i(t)-f_i(t_0)|<\varepsilon/n. Tomando \delta=\min(\delta_1,\dots,\delta_n) obtemos, para |t-t_0|<\delta,
Se F é contínua em t_0, então cada f_i é contínua em t_0.
Prova: fixe i. A projeção \pi_i:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}, \pi_i(x_1,\dots,x_n)=x_i, é contínua (é linear). Sendo \pi_i contínua e F contínua, a composição f_i=\pi_i\circ F é contínua em t_0. Em termos elementares: se \|F(t)-F(t_0)\|<\varepsilon então |f_i(t)-f_i(t_0)|\le \|F(t)-F(t_0)\|, portanto satisfaz a definição de continuidade para f_i.
Comentário prático: na hora da prova, muitas vezes basta verificar uma componente para provar descontinuidade, ou verificar todas para provar continuidade.
Passo 5
Agora passo ao item (b): vou dar um exemplo explícito e justificar a descontinuidade usando a ideia componente a componente.
Portanto as subsequências dos valores da primeira componente assumem limites distintos: uma subsequência tende a 1 e outra tende a -1. Assim \sin(1/t) não tem limite quando t\to 0. Consequentemente
\lim_{t\to 0} F(t)
não existe (porque a primeira componente não tem limite). Como F(0)=(0,0), não é verdade que \lim_{t\to 0}F(t)=F(0). Logo F NÃO é contínua em t_0=0.
Alternativa por \varepsilon-\delta: tomar \varepsilon=\tfrac12. Para qualquer \delta>0 existe t com 0<|t|<\delta e |\sin(1/t)|=1 (por exemplo valores t=t_k acima suficientemente grandes). Assim não existe \delta que garanta |\sin(1/t)-0|<\tfrac12 para todos t com |t|<\delta, confirmando a descontinuidade.]
Passo 6
Resumo final e dica prática: para verificar continuidade de uma função vetorial de \mathbb{R} em prova, verifique as componentes. Se alguma componente falhar (como \sin(1/t) em 0), a função vetorial falha. Se todas as componentes são contínuas, a função vetorial é contínua. Isso evita trabalhar diretamente com normas quando não é necessário.
Força aí — essa é uma questão clássica; é normal ficar em dúvida com os detalhes de sequência e \varepsilon-\delta, mas agora está no bolso.
Resposta
(a) A função [F:A\subset\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n) é contínua em t_0\in A se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo t\in A, |t-t_0|<\delta implica \|F(t)-F(t_0)\|<\varepsilon. Equivalentemente, \lim_{t\to t_0}F(t)=F(t_0).
no ponto t_0=0\]. A primeira componente \(\sin(1/t) não tem limite quando t\to 0 (por exemplo, ao longo de t_k=1/(\tfrac{\pi}{2}+2\pi k) a função tende a 1 e ao longo de s_k=1/(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi k) tende a -1); portanto \lim_{t\to 0}F(t) não existe e F não é contínua em 0.]