Considere as funções vetoriais F, G: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{3} dadas por F(t)=\left(t, t^{2}, 1\right) e G(t)= ( \cos t, \sin t, t ), e a função escalar real h: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por h(t)=t^{\prime}. Calcule as seguintes operações:
A função soma (F+G)(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes funções (peguei tudo do enunciado):
  • F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, \;F(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;1\bigr).
  • G:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^3, \;G(t)=\bigl(\cos t,\;\sin t,\;t\bigr).
  • Também foi dada h:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \;h(t)=t' (essa não é necessária para a soma pedida).
    A pergunta é: calcular a função soma (F+G)(t).

Passo 2

Regra para somar funções vetoriais: a soma de duas funções vetoriais de mesma dimensão é feita componente a componente. Em termos gerais, se
F(t)=\bigl(f_1(t),\,f_2(t),\,f_3(t)\bigr)\quad\text{e}\quad G(t)=\bigl(g_1(t),\,g_2(t),\,g_3(t)\bigr),
então
(F+G)(t)=F(t)+G(t)=\bigl(f_1(t)+g_1(t),\;f_2(t)+g_2(t),\;f_3(t)+g_3(t)\bigr).
Aqui cada f_i(t) e g_i(t) é a i-ésima componente de F e G respectivamente.

Passo 3

Aplicando a regra componente a componente às funções dadas:
  • 1ª componente: t (de F) mais \cos t (de G) dá t+\cos t.
  • 2ª componente: t^{2} (de F) mais \sin t (de G) dá t^{2}+\sin t.
  • 3ª componente: 1 (de F) mais t (de G) dá 1+t.
Portanto, em forma vetorial,
(F+G)(t)=\bigl(t+\cos t,\;t^{2}+\sin t,\;1+t\bigr).

Passo 4

Cheque rápido (exemplo para ganhar confiança): para t=0,
(F+G)(0)=\bigl(0+\cos 0,\;0^{2}+\sin 0,\;1+0\bigr)=\bigl(1,\,0,\,1\bigr),
o que faz sentido e confirma a forma obtida.

Resposta

\displaystyle (F+G)(t)=\bigl(t+\cos t,\;t^{2}+\sin t,\;1+t\bigr)

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