Considere as funções
abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para identificar máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos. Para isso, vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos, avaliar os valores de
nesses pontos e nos extremos do intervalo, e então classificar os extremos.
Passo 2
Calculamos a derivada de
:
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
No intervalo
, os valores de
que interessam são
, gerando
Desses, os pontos internos ao intervalo são
e
.
Passo 3
Vamos avaliar
nos pontos críticos internos e nos extremos
e
:
Passo 4
Para classificar os extremos locais, analisamos o sinal de
em torno de cada ponto interno:
- Em
: para tem ; para tem . Logo troca de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em . - Em
: para tem ; para tem . Logo troca de positiva para negativa, caracterizando um máximo local em .
Passo 5
Comparando os valores obtidos em todos os pontos, vemos que o maior valor de
no intervalo é
e o menor é
. Portanto:
- Máximos absolutos:
em e em . - Mínimos absolutos:
em e em . - Máximo local (interior): em
com . - Mínimo local (interior): em
com .
Resposta
Máximos absolutos em
e
com valor
.
Mínimos absolutos em e
com valor
.
Máximo local em .
Mínimo local em .
Mínimos absolutos em
Máximo local em
Mínimo local em