Considere as funções y=f(x) abaixo definidas. Analise cada uma com relação à existência de máximos e mínimos locais e absolutos.
f(x)=2 cos (3 x), x in[0, pi]

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = 2cos(3x), xin[0,pi]
e pede para identificar máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos. Para isso, vamos usar cálculo de derivada para achar pontos críticos, avaliar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo, e então classificar os extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f:
f'(x) = ddxl[2cos(3x)r] = -6sin(3x)
Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
-6sin(3x)=0 Longrightarrow sin(3x)=0 Longrightarrow 3x = kpi,;kinZ Longrightarrow x = kpi3
No intervalo [0,pi], os valores de k que interessam são k=0,1,2,3, gerando
x = 0,;pi3,;2pi3,;pi
Desses, os pontos internos ao intervalo são x=pi/3 e x=2pi/3.

Passo 3

Vamos avaliar f nos pontos críticos internos e nos extremos 0 e pi:
f(0) = 2cos(0) = 2, fl(tfracpi3r) = 2cos(pi) = -2,
fl(tfrac2pi3r) = 2cos(2pi) = 2, f(pi) = 2cos(3pi) = -2

Passo 4

Para classificar os extremos locais, analisamos o sinal de f'(x) em torno de cada ponto interno:
  • Em x=pi/3: para x<pi/3 tem 3x<piRightarrowsin(3x)>0Rightarrow f'(x)<0; para x>pi/3 tem 3x>piRightarrowsin(3x)<0Rightarrow f'(x)>0. Logo f' troca de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local em x=pi/3.
  • Em x=2pi/3: para x<2pi/3 tem 3x<2piRightarrowsin(3x)<0Rightarrow f'(x)>0; para x>2pi/3 tem 3x>2piRightarrowsin(3x)>0Rightarrow f'(x)<0. Logo f' troca de positiva para negativa, caracterizando um máximo local em x=2pi/3.

Passo 5

Comparando os valores obtidos em todos os pontos, vemos que o maior valor de f no intervalo é 2 e o menor é -2. Portanto:
  • Máximos absolutos: f=2 em x=0 e em x=2pi/3.
  • Mínimos absolutos: f=-2 em x=pi/3 e em x=pi.
  • Máximo local (interior): em x=2pi/3 com f(2pi/3)=2.
  • Mínimo local (interior): em x=pi/3 com f(pi/3)=-2.

Resposta

Máximos absolutos em x=0 e x=tfrac2pi3 com valor 2.
Mínimos absolutos em x=tfracpi3 e x=pi com valor -2.
Máximo local em x=tfrac2pi3.
Mínimo local em x=tfracpi3.

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