Considere \gamma uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s cujo traço está contido na esfera de centro p e raio r. Assuma que a torção \tau(s) de \gamma nunca se anule e que k^{\prime}(s) \neq 0, onde k é a curvatura de \gamma. Mostre que \gamma satisfaz a seguinte equãção diferencial (Monge, 1807)
\frac{1}{k^{2}}+\left(\frac{1}{\tau}\left(\frac{1}{k}\right)^{\prime}\right)^{2}=r^{2}
Mostre ainda que se uma dada esfera de centro p e raio r contém o traço de uma curva \gamma (satisfazendo as mesmas hipóteses sobre a curvatura e a torção dadas acima) então vale a seguinte equação
p=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)} n-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b

Passo 1

O enunciado diz o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
  • Temos uma curva \gamma(s) parametrizada pelo comprimento de arco s.
  • O traço de \gamma está contido numa esfera de centro p e raio r.
  • A torção \tau(s) nunca se anula.
  • A derivada da curvatura satisfaz k'(s)\neq 0.
  • Pedem para mostrar a identidade (equação de Monge)
\frac{1}{k^{2}}+\left(\frac{1}{\tau}\left(\frac{1}{k}\right)^{\prime}\right)^{2}=r^{2},
ou seja, relacionar k,\tau e r.
  • Pedem ainda para mostrar que o centro p da esfera pode ser escrito em termos do triêro de Frenet (t,n,b) por
p=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)} n-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b.
Informações relevantes dadas: \gamma é unit-speed (parametrização por comprimento de arco), k(s) é curvatura, \tau(s) é torção, \tau(s)\neq 0 e k'(s)\neq 0. O traço de \gamma está em uma esfera de centro p e raio r, então para todo s
\|\gamma(s)-p\|^{2}=r^{2}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (mini-aula sobre o que é necessário):
  • Como \gamma\) é parametrizada por comprimento de arco, o vetor tangente é \(t(s)=\gamma'(s)\) e \(\|t(s)\|=1\). - A curvatura \(k(s)\) e a normal principal \(n(s)\) são dados por \(t'(s)=k(s)\,n(s)\). Aqui \(k(s)\ge 0\). - A torção \(\tau(s)\) e o binormal \(b(s)\) completam o triêro de Frenet. Vou adotar a convenção de Frenet-Serret \[\begin{cases} t'(s)=k(s)\,n(s),\\[4pt] n'(s)=-k(s)\,t(s)-\tau(s)\,b(s),\\[4pt] b'(s)=\tau(s)\,n(s). \end{cases}
(Atenção: existem duas convenções de sinal para a torção; estou usando esta que torna a relação final igual à do enunciado. A diferença é apenas uma questão de orientação do triêro, não altera o conteúdo geométrico do argumento.)
  • Essas fórmulas valem ponto a ponto em s\] e permitem expressar derivadas de vetores do triêro em termos da base \(\{t,n,b\}.
Vou aplicar derivação escalar e decomposição vetorial nas direções t,n,b. Quando um vetor é escrito em base \{t,n,b\}, basta igualar componentes ao derivar.]

Passo 3

Use a condição geométrica da esfera. Defina o vetor
u(s)=\gamma(s)-p.
Pela hipótese, para todo s,
\|u(s)\|^{2}=r^{2}.
Derivando em s (regra da cadeia) obtemos
2\,u(s)\cdot u'(s)=0 \quad\Rightarrow\quad u(s)\cdot u'(s)=0.
Mas u'(s)=\gamma'(s)-0=t(s). Então
u(s)\cdot t(s)=0 \quad\text{para todo }s.
Portanto u(s) é ortogonal ao vetor tangente t(s). Assim u(s) pertence ao plano gerado por n(s) e b(s), e podemos escrever (para cada s)
u(s)=\alpha(s)\,n(s)+\beta(s)\,b(s),
com funções escalares \alpha(s),\beta(s).

Passo 4

Diferencie u(s)=\alpha n+\beta b e use as fórmulas de Frenet para relacionar componentes.
Cálculo de u'(s):
\begin{aligned} u'(s)&=\alpha'(s)\,n+\alpha(s)\,n'(s)+\beta'(s)\,b+\beta(s)\,b'(s)\\[4pt] &=\alpha'(s)\,n+\alpha(s)\bigl(-k\,t-\tau\,b\bigr)+\beta'(s)\,b+\beta(s)\bigl(\tau\,n\bigr)\\[4pt] &=\bigl(-\alpha(s)k(s)\bigr)\,t+\bigl(\alpha'(s)+\beta(s)\tau(s)\bigr)\,n+\bigl(\beta'(s)-\alpha(s)\tau(s)\bigr)\,b. \end{aligned}
Mas sabemos que u'(s)=t(s). Comparando componentes na base \{t,n,b\} obtemos três equações escalares:
\begin{cases} -\alpha(s)k(s)=1,\\[4pt] \alpha'(s)+\beta(s)\tau(s)=0,\\[4pt] \beta'(s)-\alpha(s)\tau(s)=0. \end{cases}]

Passo 5

Resolva as equações sucessivamente para \alpha e \beta.
Da primeira equação
-\alpha(s)k(s)=1 \quad\Rightarrow\quad \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)}.
Derivando \alpha(s)
\alpha'(s)=-\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime}.
Da segunda equação \alpha'(s)+\beta(s)\tau(s)=0 segue
\beta(s)=-\frac{\alpha'(s)}{\tau(s)}.
Substituindo \alpha'(s)=-\bigl(\tfrac{1}{k}\bigr)' obtemos
\beta(s)=\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime}.
Observação rápida: a terceira equação \beta'(s)-\alpha(s)\tau(s)=0 é uma equação consistente que é automaticamente satisfeita quando \alpha e \beta são como acima (pode verificar-se diferenciando \beta e usando \alpha); por isso não precisamos usá-la para obter \alpha,\beta.

Passo 6

Use agora a expressão de u em termos de \alpha,\beta para obter a equação de Monge.
Recordando u=\gamma-p=\alpha n+\beta b, o quadrado da norma dá
r^{2}=\|u\|^{2}=\alpha(s)^{2}+\beta(s)^{2}.
Substitua \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)} e \beta(s)=\dfrac{1}{\tau(s)}\bigl(\dfrac{1}{k(s)}\bigr)'. Assim
r^{2}=\frac{1}{k(s)^{2}}+\left(\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime}\right)^{2},
que é exatamente a equação de Monge pedida.
Aqui vale notar que o sinal de \alpha não importa ao quadrado; o sinal de \beta está corretamente fixado pela segunda equação obtida na comparação de componentes.

Passo 7

Expresse o centro p explicitamente em função de \gamma,n,b.
Temos u=\gamma-p=\alpha n+\beta b. Então
p=\gamma-u=\gamma-\alpha n-\beta b.
Substituindo \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)} e \beta(s)=\dfrac{1}{\tau(s)}\left(\dfrac{1}{k(s)}\right)' obtemos
\begin{aligned} p&=\gamma(s)-\left(-\frac{1}{k(s)}\right)n(s)-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b(s)\\[4pt] &=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)}\,n(s)-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b(s), \end{aligned}
o que é exatamente a expressão pedida para o centro p.]

Resposta

\frac{1}{k^{2}}+\left(\frac{1}{\tau}\left(\frac{1}{k}\right)^{\prime}\right)^{2}=r^{2}
p=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)} n(s)-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b(s)

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