Considere \gamma uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s cujo traço está contido na esfera de centro p e raio r. Assuma que a torção \tau(s) de \gamma nunca se anule e que k^{\prime}(s) \neq 0, onde k é a curvatura de \gamma. Mostre que \gamma satisfaz a seguinte equãção diferencial (Monge, 1807)
Mostre ainda que se uma dada esfera de centro p e raio r contém o traço de uma curva \gamma (satisfazendo as mesmas hipóteses sobre a curvatura e a torção dadas acima) então vale a seguinte equação
p=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)} n-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b
Passo 1
O enunciado diz o seguinte (vou listar exatamente o que temos e o que se pede):
Temos uma curva \gamma(s) parametrizada pelo comprimento de arco s.
O traço de \gamma está contido numa esfera de centro p e raio r.
A torção \tau(s) nunca se anula.
A derivada da curvatura satisfaz k'(s)\neq 0.
Pedem para mostrar a identidade (equação de Monge)
Pedem ainda para mostrar que o centro p da esfera pode ser escrito em termos do triêro de Frenet (t,n,b) por
p=\gamma(s)+\frac{1}{k(s)} n-\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{k(s)}\right)^{\prime} b.
Informações relevantes dadas: \gamma é unit-speed (parametrização por comprimento de arco), k(s) é curvatura, \tau(s) é torção, \tau(s)\neq 0 e k'(s)\neq 0. O traço de \gamma está em uma esfera de centro p e raio r, então para todo s
\|\gamma(s)-p\|^{2}=r^{2}.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (mini-aula sobre o que é necessário):
Como \gamma\) é parametrizada por comprimento de arco, o vetor tangente é \(t(s)=\gamma'(s)\) e \(\|t(s)\|=1\).
- A curvatura \(k(s)\) e a normal principal \(n(s)\) são dados por \(t'(s)=k(s)\,n(s)\). Aqui \(k(s)\ge 0\).
- A torção \(\tau(s)\) e o binormal \(b(s)\) completam o triêro de Frenet. Vou adotar a convenção de Frenet-Serret
\[\begin{cases} t'(s)=k(s)\,n(s),\\[4pt] n'(s)=-k(s)\,t(s)-\tau(s)\,b(s),\\[4pt] b'(s)=\tau(s)\,n(s). \end{cases}
(Atenção: existem duas convenções de sinal para a torção; estou usando esta que torna a relação final igual à do enunciado. A diferença é apenas uma questão de orientação do triêro, não altera o conteúdo geométrico do argumento.)
Essas fórmulas valem ponto a ponto em s\] e permitem expressar derivadas de vetores do triêro em termos da base \(\{t,n,b\}.
Vou aplicar derivação escalar e decomposição vetorial nas direções t,n,b. Quando um vetor é escrito em base \{t,n,b\}, basta igualar componentes ao derivar.]
Passo 3
Use a condição geométrica da esfera. Defina o vetor
Observação rápida: a terceira equação \beta'(s)-\alpha(s)\tau(s)=0 é uma equação consistente que é automaticamente satisfeita quando \alpha e \beta são como acima (pode verificar-se diferenciando \beta e usando \alpha); por isso não precisamos usá-la para obter \alpha,\beta.
Passo 6
Use agora a expressão de u em termos de \alpha,\beta para obter a equação de Monge.
Recordando u=\gamma-p=\alpha n+\beta b, o quadrado da norma dá
r^{2}=\|u\|^{2}=\alpha(s)^{2}+\beta(s)^{2}.
Substitua \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)} e \beta(s)=\dfrac{1}{\tau(s)}\bigl(\dfrac{1}{k(s)}\bigr)'. Assim
Aqui vale notar que o sinal de \alpha não importa ao quadrado; o sinal de \beta está corretamente fixado pela segunda equação obtida na comparação de componentes.
Passo 7
Expresse o centro p explicitamente em função de \gamma,n,b.
Temos u=\gamma-p=\alpha n+\beta b. Então
p=\gamma-u=\gamma-\alpha n-\beta b.
Substituindo \alpha(s)=-\dfrac{1}{k(s)} e \beta(s)=\dfrac{1}{\tau(s)}\left(\dfrac{1}{k(s)}\right)' obtemos