Considere \beta: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva parametrizada pelo comprimento de arco s. Mostre que o traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r se, e somente se, a torção \tau=0 e a curvatura \kappa=\frac{1}{r}.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem do enunciado):
Tem-se uma curva \beta: I\to\mathbb{R}^3 parametrizada pelo comprimento de arco s. Ou seja, \|\beta'(s)\|=1 para todo s\in I.
Existe um número r>0 (o raio de uma circunferência).
A questão pede para mostrar a equivalência:
"O traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r" se, e somente se, \tau=0 e \kappa=\dfrac{1}{r}.
Informações relevantes que podemos usar (definições que o enunciado pressupõe):
A curvatura \kappa(s) é dada por \kappa(s)=\|\beta''(s)\| quando a curva é parametrizada por arco (e \kappa\ge 0).
O vetor tangente é T(s)=\beta'(s).
O vetor normal principal N(s) é N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|} quando \kappa>0.
O binormal é B(s)=T(s)\times N(s).
A torção \tau(s) aparece nas equações de Frenet–Serret (a seguir): são fórmulas que relacionam as derivadas de T,N,B com \kappa e \tau.
Passo 2
Apresentando e explicando as ferramentas que vamos usar (Frenet–Serret) — aula curta e prática:
Como a curva está parametrizada por arco, T(s)=\beta'(s)\) e \(\|T(s)\|=1\).
- A curvatura \(\kappa(s)\) mede a rapidez com que a direção de \(T\) muda; por definição em parâmetro arco
\[T'(s)=\kappa(s)\,N(s).
Aqui \kappa(s)=\|T'(s)\|=\|\beta''(s)\| e N(s) é o vetor normal unitário (direção de T').
O vetor B(s)=T(s)\times N(s) é o binormal unitário, perpendicular ao plano gerado por T e N.
As equações de Frenet–Serret completam o quadro (são relações padrão; mostro-as para que estejam claras):
Interpretação rápida: \tau(s)\] mede a taxa de variação do plano osculador (isto é, quanto o plano contendo \(T e N gira). Se \tau(s)=0 em um intervalo, então B'(s)=0 nesse intervalo, logo B é constante e a curva está contida em um plano fixo (pois B é normal a esse plano).]
Passo 3
Direção (⇒): suponha que o traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r. Quero mostrar \tau=0 e \kappa=\dfrac{1}{r}.
Se o traço está contido em uma circunferência de raio r, existe um ponto C\in\mathbb{R}^3 (o centro da circunferência) e vetores ortonormais fixos u,v\in\mathbb{R}^3 tais que, para cada s,
Como \beta está parametrizada por arco, \|T(s)\|=1. O vetor -\sin\theta\,u+\cos\theta\,v é unitário, logo
1=\|T(s)\|=r\,|\theta'(s)|,
ou seja
|\theta'(s)|=\frac{1}{r}.
A curvatura \kappa(s) para esta curva é \kappa(s)=\|T'(s)\|=\big|r\,\theta''(\cdot)\,\cdots\big| — mas é mais simples observar: em coordenadas angulares numa circunferência parametrizada por arco, a curvatura vale |\theta'(s)|. Assim
\kappa(s)=|\theta'(s)|=\frac{1}{r}.
(Se quiser ver isso de outra forma, derive novamente e use que a segunda derivada aponta para o normal e tem magnitude |\theta'|\,r\cdot|\theta'|=1/r; o importante é que \kappa é constante e igual a 1/r.)
Sobre a torção: como a circunferência está contida no plano fixo ortogonal a u\times v, o binormal B(s) é (até sinal) o vetor fixo u\times v — ou seja, B(s) é constante. Então, pela segunda das equações de Frenet–Serret,
B'(s)=-\tau(s)N(s)=0,
o que implica \tau(s)=0 para todo s. Conclusão da direção (⇒): \tau=0 e \kappa=\dfrac{1}{r}.
Passo 4
Direção (⇐): suponha agora que \tau(s)=0 para todo s em I e que \kappa(s)=\dfrac{1}{r} (constante). Quero mostrar que o traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r.
Primeiro, \tau(s)=0 para todo s implica, pelas equações de Frenet–Serret,
B'(s)=-\tau(s)N(s)=0,
logo B(s) é constante: existe B_0\in\mathbb{R}^3 fixo com B(s)=B_0 para todo s. Como B_0 é normal a T e N em todo s, isto significa que toda a curva está contida no plano ortogonal a B_0. Em outras palavras, a curva é planar.
Agora, num intervalo onde \kappa>0 (se \kappa=0 identicamente a curva seria uma reta e não uma circunferência; aqui assumimos \kappa=1/r>0), podemos considerar o vetor
C(s)=\beta(s)+\frac{1}{\kappa}\,N(s).
Isto é uma tentativa natural: para um círculo no plano, o centro é a posição do ponto mais uma normal de comprimento raio.
Diferenciando C(s) e usando as equações de Frenet:
Portanto C'(s)=0 e C(s) é constante: existe um ponto fixo C\in\mathbb{R}^3 tal que
C=\beta(s)+\frac{1}{\kappa}N(s)\quad\text{para todo }s.
Tirando norma em ambos os lados (lembrando que N é unitário),
\|\beta(s)-C\|=\frac{1}{\kappa}=r.
Isso mostra que todo ponto \beta(s) está à mesma distância r do ponto fixo C: ou seja, o traço de \beta está contido na circunferência (no plano ortogonal a B_0) de centro C e raio r. Conclusão da direção (⇐): se \tau=0 e \kappa=1/r então a imagem de \beta está contida em uma circunferência de raio r.
Passo 5
Comentário didático final (resumindo o raciocínio prático para a prova):
Intuição rápida: \tau=0 significa “a curva não sai de um plano”, ou seja é planar. Curvas planas com curvatura constante \kappa são exatamente arcos de circunferência de raio 1/\kappa. Para mostrar isso rigorosamente usa-se o vetor C=\beta+\tfrac{1}{\kappa}N e verifica-se que C'\!=0.
No outro sentido, se a curva já está numa circunferência de raio r então o binormal é constante (plano fixo) e a curvatura é 1/r porque o texto geométrico da circunferência força |\theta'|=1/r quando se parametrize por comprimento de arco.
Resposta
Se o traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r então \tau=0 e \kappa=\dfrac{1}{r}.
Se \tau=0 e \kappa=\dfrac{1}{r} então o traço de \beta está contido em uma circunferência de raio r.