Mostre que a cúbica retorcida t \rightarrow\left(t, t^{2}, t^{3}\right) tem curvatura \kappa(t) e torção \tau(t) dadas respectivamente por
\kappa(t)=\frac{\left(4+36 t^{2}+36 t^{4}\right)^{1 / 2}}{\left(1+4 t^{2}+9 t^{4}\right)^{3 / 2}} \quad \tau(t)=\frac{-3}{1+9 t^{2}+9 t^{4}}
Tente desenhar a curva usando algum programa gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica t \mapsto \big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big) e pede para mostrar as fórmulas da curvatura \kappa(t) e da torção \tau(t) indicadas. Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A curva é a função vetorial \mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big).
  • Pede-se: a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t) em função de t.
  • É esperado usar as fórmulas padrão para curvatura e torção de curvas no espaço (estas serão apresentadas e explicadas nos próximos passos).

Passo 2

Vou calcular as derivadas de \mathbf{r}(t). Derivar uma curva componente a componente é direto: a derivada do vetor é o vetor das derivadas.
\mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big)
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\,2t,\,3t^{2}\big)
\mathbf{r}''(t)=\big(0,\,2,\,6t\big)
\mathbf{r}'''(t)=\big(0,\,0,\,6\big)
Explicação curta: \mathbf{r}' é a velocidade (vetor tangente não normalizado), \mathbf{r}'' é a aceleração, e \mathbf{r}''' aparece na fórmula da torção.

Passo 3

Agora cálculo o produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t). Use o determinante da matriz 3×3:
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2t & 3t^{2} \\\\ 0 & 2 & 6t \end{vmatrix}.
Calculando componente a componente:
  • Componente \mathbf{i}: 2t\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 2 = 12t^{2}-6t^{2}=6t^{2}.
  • Componente \mathbf{j}: 1\cdot 6t - 3t^{2}\cdot 0 = 6t, lembra o sinal negativo do termo médio do determinante, então fica -6t.
  • Componente \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 2t\cdot 0 = 2.
Portanto
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\big(6t^{2},\,-6t,\,2\big).

Passo 4

Para a curvatura usamos a fórmula (fórmula padrão, explicando cada termo):
\kappa(t)=\frac{\big\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\big\|}{\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^{3}}.
Aqui \big\|\mathbf{r}'\big\| é a norma (comprimento) do vetor velocidade; \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' tem norma igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}' e \mathbf{r}''. A razão dá a curvatura: quanto a direção da tangente gira por unidade de comprimento.
Calcule a norma do produto vetorial:
\big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|^{2}=(6t^{2})^{2}+(-6t)^{2}+2^{2}=36t^{4}+36t^{2}+4.
Logo
\big\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big\|=\sqrt{4+36t^{2}+36t^{4}}.
Calcule a norma de \mathbf{r}':
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|^{2}=1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}=1+4t^{2}+9t^{4},
portanto
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\|=\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}.
Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(t)=\frac{\sqrt{4+36t^{2}+36t^{4}}}{\big(\sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}\big)^{3}} =\frac{\sqrt{4+36t^{2}+36t^{4}}}{\big(1+4t^{2}+9t^{4}\big)^{3/2}}.
Isso corresponde à expressão pedida para \kappa(t).

Passo 5

Agora a torção. Existem duas formas comuns de escrever a fórmula da torção, que diferem por um sinal dependendo da convenção usada para o vetor binormal e o sinal de \tau. As duas formas relacionadas são:
\tau(t)=\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}} \quad\text{ou}\quad \tau(t)=-\frac{(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}}.
Explicando: a torção mede como a binormal gira ao longo da curva; alguns livros definem \tau=-\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N} levando ao sinal negativo da segunda fórmula. O enunciado pede a expressão com sinal negativo, então uso a segunda fórmula para ficar no mesmo sinal pedido.
Calcule o produto escalar necessário:
(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'')\cdot\mathbf{r}'''=(6t^{2},-6t,2)\cdot(0,0,6)=6t^{2}\cdot 0 + (-6t)\cdot 0 + 2\cdot 6 = 12.
Já tínhamos \|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|^{2}=4+36t^{2}+36t^{4}. Aplicando a fórmula com o sinal negativo:
\tau(t)=-\frac{12}{4+36t^{2}+36t^{4}}.
Fatorando 4 do denominador ou simplificando:
\tau(t)=-\frac{12}{4\big(1+9t^{2}+9t^{4}\big)}=-\frac{3}{1+9t^{2}+9t^{4}}.
Assim obtemos a expressão pedida para \tau(t). Observação: se em vez da fórmula com o sinal negativo fosse usada a outra convenção, obter-se-ia o sinal oposto da torção.

Passo 6

Dicas rápidas para desenhar a curva (sugestão prática usando Python + Matplotlib; dá para colar num notebook e executar):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

t = np.linspace(-2, 2, 400)
x = t
y = t**2
z = t**3

fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, lw=2)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('Cúbica retorcida: (t, t^2, t^3)')
plt.show()
Sugestão: variar o intervalo de t (por exemplo [-3,3]) e colorir por parâmetro para visualizar a orientação (usar um colormap com ax.plot(…, c=…)). Programas alternativos: Sage, GeoGebra 3D ou software de algebra computacional também desenham curvas paramétricas.

Resposta

\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{4+36t^{2}+36t^{4}}}{\big(1+4t^{2}+9t^{4}\big)^{3/2}}
\tau(t)=-\dfrac{3}{1+9t^{2}+9t^{4}}

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