Tente desenhar a curva usando algum programa gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica t \mapsto \big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big) e pede para mostrar as fórmulas da curvatura \kappa(t) e da torção \tau(t) indicadas. Informações importantes extraídas do enunciado:
A curva é a função vetorial \mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big).
Pede-se: a curvatura \kappa(t) e a torção \tau(t) em função de t.
É esperado usar as fórmulas padrão para curvatura e torção de curvas no espaço (estas serão apresentadas e explicadas nos próximos passos).
Passo 2
Vou calcular as derivadas de \mathbf{r}(t). Derivar uma curva componente a componente é direto: a derivada do vetor é o vetor das derivadas.
\mathbf{r}(t)=\big(t,\,t^{2},\,t^{3}\big)
\mathbf{r}'(t)=\big(1,\,2t,\,3t^{2}\big)
\mathbf{r}''(t)=\big(0,\,2,\,6t\big)
\mathbf{r}'''(t)=\big(0,\,0,\,6\big)
Explicação curta: \mathbf{r}' é a velocidade (vetor tangente não normalizado), \mathbf{r}'' é a aceleração, e \mathbf{r}''' aparece na fórmula da torção.
Passo 3
Agora cálculo o produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t). Use o determinante da matriz 3×3:
Aqui \big\|\mathbf{r}'\big\| é a norma (comprimento) do vetor velocidade; \mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' tem norma igual à área do paralelogramo gerado por \mathbf{r}' e \mathbf{r}''. A razão dá a curvatura: quanto a direção da tangente gira por unidade de comprimento.
Isso corresponde à expressão pedida para \kappa(t).
Passo 5
Agora a torção. Existem duas formas comuns de escrever a fórmula da torção, que diferem por um sinal dependendo da convenção usada para o vetor binormal e o sinal de \tau. As duas formas relacionadas são:
Explicando: a torção mede como a binormal gira ao longo da curva; alguns livros definem \tau=-\mathbf{B}'\cdot\mathbf{N} levando ao sinal negativo da segunda fórmula. O enunciado pede a expressão com sinal negativo, então uso a segunda fórmula para ficar no mesmo sinal pedido.
Assim obtemos a expressão pedida para \tau(t). Observação: se em vez da fórmula com o sinal negativo fosse usada a outra convenção, obter-se-ia o sinal oposto da torção.
Passo 6
Dicas rápidas para desenhar a curva (sugestão prática usando Python + Matplotlib; dá para colar num notebook e executar):
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
t = np.linspace(-2, 2, 400)
x = t
y = t**2
z = t**3
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot(x, y, z, lw=2)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_zlabel('z')
ax.set_title('Cúbica retorcida: (t, t^2, t^3)')
plt.show()
Sugestão: variar o intervalo de t (por exemplo [-3,3]) e colorir por parâmetro para visualizar a orientação (usar um colormap com ax.plot(…, c=…)). Programas alternativos: Sage, GeoGebra 3D ou software de algebra computacional também desenham curvas paramétricas.