Seja o fluxo através de um superfície \int_{S} \rho \vec{v} \cdot d \vec{A}. Obtenha o fluxo para os seguintes casos:
a) Linhas de corrente e elemento de área na mesma direção, \vec{v}=v \hat{i} e d \vec{A}=d A \hat{i}.
b) Linhas de corrente paralelas a superfície, \vec{v}=v \hat{j} e d \vec{A}=d A \hat{i}.
c) \vec{v}=v_{x} \hat{i}+v_{y} \hat{j}+v_{z} \hat{k} e d \vec{A}=d A \hat{i}.
d) É possível tirar alguma conclusão geral baseando-se nos 3 casos anteriores? E qual seria essa conclusão?

Passo 1

O enunciado pede o fluxo
\displaystyle \Phi=\int_{S}\rho\,\vec v\cdot d\vec A
em três situações específicas de \vec v e d\vec A. É conteúdo de mecânica de fluidos, usando produto escalar e integral de superfície.

Passo 2

Primeiro, lembre que
d\vec A = \hat n\,dA,
onde \hat n é o vetor normal à superfície. Logo
\vec v\cdot d\vec A = (\vec v\cdot\hat n)\,dA
e o fluxo geral fica
\Phi = \int_{S}\rho\,(\vec v\cdot\hat n)\,dA.

Passo 3

Caso (a): \vec v = v\,\hat i e d\vec A = dA\,\hat i. Aqui \hat n=\hat i, então
\vec v\cdot d\vec A = v\,dA
e
\Phi = \int_{S}\rho\,v\,dA.

Passo 4

Caso (b): \vec v = v\,\hat j e d\vec A = dA\,\hat i. Como \hat j\cdot\hat i=0, temos
\vec v\cdot d\vec A = 0
e
\Phi = 0.

Passo 5

Caso (c): \vec v = v_x\,\hat i + v_y\,\hat j + v_z\,\hat k e d\vec A = dA\,\hat i. Então
\vec v\cdot d\vec A = v_x\,dA
e
\Phi = \int_{S}\rho\,v_x\,dA.

Passo 6

Dos três casos vemos que só a componente de \vec v na direção normal à superfície contribui para o fluxo.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi=\int_{S}\rho\,v\,dA.
(b) \displaystyle \Phi=0.
(c) \displaystyle \Phi=\int_{S}\rho\,v_x\,dA.
(d) Em geral
\Phi = \int_{S}\rho\,(\vec v\cdot\hat n)\,dA,
isto é, apenas a componente normal de \vec v conta para o fluxo.

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