Considere um gás ideal formado de batatas que tem as seguintes propriedades: ele obedece à lei dos gases ideais, as partículas pesam 100 g , mas não ocupam volume, isto é, são massas pontuais. A 25^circ C, calcule a altura na qual o número de batatas por metro cúbico cai a um milionésimo do valor ao nível do solo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um “gás” de batatas ideais (cada batata é uma partícula de massa 100 g = 0,1 kg, sem volume próprio) à temperatura de 25 °C (ou 298 K) e queremos achar a altura em que a densidade de batatas por m³ cai a 1/10^6 da do solo.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Lei dos gases ideais (na forma p = n,kB,T)
  2. Equilíbrio hidrostático ( dpdz = -rho,g)
  3. Relação entre densidade de massa rho e densidade numérica n ( rho = n,m)
  4. Resolver a equação diferencial e extrair a altura z.

Passo 2

Primeiro, escreve o equilíbrio de pressões no ar:
dpdz = -rho(z),g
Isso simplesmente diz que a variação de pressão com a altura é negativa e proporcional à densidade de massa rho vezes a gravidade g.

Passo 3

Agora, como se trata de um gás ideal de batatas, a gente liga pressão p e densidade numérica n (número de batatas por volume) via:
p = n,kB,T
e a densidade de massa é
rho = n,m,,
onde m=0,1,kg é a massa de cada batata e kB=1,38times10^-23,J/K é a constante de Boltzmann.

Passo 4

Substituindo rho em dpdz=-rho,g e trocando p por n,kB,T, temos:
dpdz = -n,m,g Longrightarrow d(n,kB,T)dz = -n,m,g
Como T é constante (temperatura fixa), dá para escrever
kB,T,dndz = -m,g,n ;Longrightarrow; 1n,dndz = -m,gkB,T
Integramos em z de 0 até z e em n de n0 até n(z):
ln!l(tfracn(z)n0r) = -m,gkB,T,z ;Longrightarrow; n(z) = n0,e^-m gkB T,z

Passo 5

A condição é n(z)=n0/10^6, logo
n010^6 = n0,e^-m gkB T,z ;Longrightarrow; e^-m gkB T,z = 10^-6 ;Longrightarrow; -m gkB T,z = ln(10^-6) = -6ln(10)
Isolando z:
z = kB,Tm,g;6ln(10)
Agora plugamos os números:
T = 298 K, m = 0,1 kg, g = 9,8 m/s², kB = 1,38times10^-23 J/K e ln(10)approx2,3026:
$$z = \frac{1{,}38\times10^{-23}\times298}{0{,}1\times9{,}8};6\times2{,}3026
\approx 5{,}8\times10^{-20}m.$$

Resposta

A altura em que a densidade de batatas cai a um milionésimo é cerca de 5,8times10^-20 metros.

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