Considere um gás ideal formado de batatas que tem as seguintes propriedades: ele obedece à lei dos gases ideais, as partículas pesam 100 g , mas não ocupam volume, isto é, são massas pontuais. A
, calcule a altura na qual o número de batatas por metro cúbico cai a um milionésimo do valor ao nível do solo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos um “gás” de batatas ideais (cada batata é uma partícula de massa 100 g = 0,1 kg, sem volume próprio) à temperatura de 25 °C (ou 298 K) e queremos achar a altura em que a densidade de batatas por m³ cai a 1/10^6 da do solo.
Conteúdo que vamos usar:
- Lei dos gases ideais (na forma
) - Equilíbrio hidrostático (
) - Relação entre densidade de massa
e densidade numérica ( ) - Resolver a equação diferencial e extrair a altura z.
Passo 2
Primeiro, escreve o equilíbrio de pressões no ar:
Isso simplesmente diz que a variação de pressão com a altura é negativa e proporcional à densidade de massa
Passo 3
Agora, como se trata de um gás ideal de batatas, a gente liga pressão
e densidade numérica
(número de batatas por volume) via:
e a densidade de massa é
onde
kg é a massa de cada batata e
J/K é a constante de Boltzmann.
Passo 4
Substituindo
em
e trocando
por
, temos:
Como
é constante (temperatura fixa), dá para escrever
Integramos em z de 0 até z e em n de
até
:
Passo 5
A condição é
, logo
Isolando
:
Agora plugamos os números:
T = 298 K, m = 0,1 kg, g = 9,8 m/s²,
$$z = \frac{1{,}38\times10^{-23}\times298}{0{,}1\times9{,}8};6\times2{,}3026
\approx 5{,}8\times10^{-20}m.$$
Resposta
A altura em que a densidade de batatas cai a um milionésimo é cerca de
metros.