Considere o grupo diedral D_{8} como sendo o grupo de permutações de um quadrado, cujos vértices A, B, C e D estão dispostos em sentido anti-horário. Escreva seus oito elementos, a saber, I, R, R^{2}, R^{3}, F, R F, R^{2} F e R^{3} F como permutações dos vértices.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever os oito elementos do grupo diedral \,D_{8}\, (que é o grupo das simetrias de um quadrado) como permutações dos vértices \,A,B,C,D\, dispostos em sentido anti-horário.
Informações e convenções que vou usar (estas escolhas são necessárias para representar explicitamente as permutações):
  • Os vértices estão em ordem anti-horária: primeiro \,A\,, depois \,B\,, depois \,C\,, depois \,D\,.
  • Vou tomar \,R\, como a rotação de 90^\circ no sentido anti-horário (portanto \,R envia \,A\mapsto B\mapsto C\mapsto D\mapsto A).
  • Vou tomar \,F\, como a reflexão cujo eixo passa por \,A e \,C (ou seja, o eixo vertical que fixa \,A\, e \,C\, e troca \,B com \,D).
  • Convenção de composição: para um produto de permutações \,XY\, interpreta-se \,XY=\;X\circ Y (aplica-se primeiro \,Y e depois \,X). Isso é o padrão em teoria de grupos e permite calcular, por exemplo, \,RF(x)=R(F(x)).
O que preciso entregar: as imagens de \,I,R,R^{2},R^{3},F,RF,R^{2}F,R^{3}F\, como permutações dos vértices (vou usar a notação cíclica de permutações, por exemplo (A\,B\,C\,D)).

Passo 2

Breve explicação sobre notação de permutações (aula rapidinha e prática).
  • Uma permutação de um conjunto de quatro vértices é simplesmente uma maneira de enviar cada vértice para outro vértice.
  • Notação cíclica: um ciclo (X\,Y\,Z) significa X\mapsto Y,\;Y\mapsto Z,\;Z\mapsto X. Ciclos disjuntos comutam e podem ser escritos lado a lado, por exemplo (A\,C)(B\,D) significa A\leftrightarrow C e B\leftrightarrow D.
  • O elemento identidade \,I\, é a permutação que deixa tudo fixo, que se escreve simplesmente () ou explicitamente como (A)(B)\text{(C)}(D); aqui vou escrever apenas que é a identidade.
Exemplo rápido: se R=(A\,B\,C\,D) então R(A)=B,\;R(B)=C,\;R\text{(C)}=D,\;R(D)=A. Se S=(B\,D) então S(B)=D,\;S(D)=B e S(A)=A,\;S\text{(C)}=C.

Passo 3

Determinar \,I\, (identidade).
  • Por definição, \,I fixa todos os vértices:
I:\;A\mapsto A,\;B\mapsto B,\;C\mapsto C,\;D\mapsto D.
Em notação cíclica isso é simplesmente a identidade (normalmente escrevemos apenas () ou não colocamos nada). Vou listar como () para clareza.

Passo 4

Determinar \,R\, (rotação de 90^\circ anti-horário).
  • Pelas convenções, \,R envia
R:\;A\mapsto B,\;B\mapsto C,\;C\mapsto D,\;D\mapsto A.
Em notação cíclica isso é
R=(A\,B\,C\,D).

Passo 5

Determinar \,R^{2} (rotação de 180^\circ).
  • Aplicando \,R duas vezes: \,R^{2}(A)=C,\;R^{2}(B)=D,\;R^{2}\text{(C)}=A,\;R^{2}(D)=B.
  • Em notação de ciclos, \,R^{2} é o produto de transposições disjuntas:
R^{2}=(A\,C)(B\,D).

Passo 6

Determinar \,R^{3} (rotação de 270^\circ ou -90^\circ).
  • \,R^{3} envia A\mapsto D,\;D\mapsto C,\;C\mapsto B,\;B\mapsto A.
  • Em notação cíclica:
R^{3}=(A\,D\,C\,B).
(Observe que R^{3}=(R)^{-1} e é o ciclo (A\,D\,C\,B).)

Passo 7

Determinar \,F\, (reflexão cujo eixo fixa A e C e troca B com D).
  • Pelas convenções, F fixa A e C, e troca B e D:
F:\;A\mapsto A,\;C\mapsto C,\;B\mapsto D,\;D\mapsto B.
  • Em notação cíclica:
F=(B\,D).

Passo 8

Determinar \,RF\, (produto R\circ F, ou seja aplicar F e depois R).
Calcule vértice a vértice:
  • RF(A)=R(F(A))=R(A)=B.
  • RF(B)=R(F(B))=R(D)=A.
  • RF\text{(C)}=R(F\text{(C)})=R\text{(C)}=D.
  • RF(D)=R(F(D))=R(B)=C.
Portanto a ação é A\mapsto B,\;B\mapsto A,\;C\mapsto D,\;D\mapsto C. Em ciclos disjuntos:
RF=(A\,B)(C\,D).

Passo 9

Determinar \,R^{2}F\, (aplicar F e depois R^{2}).
  • R^{2}F(A)=R^{2}(F(A))=R^{2}(A)=C.
  • R^{2}F(B)=R^{2}(F(B))=R^{2}(D)=B.
  • R^{2}F\text{(C)}=R^{2}(F\text{(C)})=R^{2}\text{(C)}=A.
  • R^{2}F(D)=R^{2}(F(D))=R^{2}(B)=D.
Logo A\leftrightarrow C e B,D são fixos; em notação cíclica:
R^{2}F=(A\,C).
(Observe que isso coincide com o fato algébrico (A\,C)(B\,D)\circ(B\,D)=(A\,C).)

Passo 10

Determinar \,R^{3}F\, (aplicar F e depois R^{3}).
  • R^{3}F(A)=R^{3}(F(A))=R^{3}(A)=D.
  • R^{3}F(B)=R^{3}(F(B))=R^{3}(D)=C.
  • R^{3}F\text{(C)}=R^{3}(F\text{(C)})=R^{3}\text{(C)}=B.
  • R^{3}F(D)=R^{3}(F(D))=R^{3}(B)=A.
Assim A\leftrightarrow D e B\leftrightarrow C; em ciclos:
R^{3}F=(A\,D)(B\,C).

Resposta

I=()\n
R=(A\,B\,C\,D)\n
R^{2}=(A\,C)(B\,D)\n
R^{3}=(A\,D\,C\,B)\n
F=(B\,D)\n
RF=(A\,B)(C\,D)\n
R^{2}F=(A\,C)\n
R^{3}F=(A\,D)(B\,C)

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