Considere o grupo diedral
como sendo o grupo de permutações de um quadrado, cujos vértices
e
estão dispostos em sentido anti-horário. Escreva seus oito elementos, a saber,
e
como permutações dos vértices.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever os oito elementos do grupo diedral
(que é o grupo das simetrias de um quadrado) como permutações dos vértices
dispostos em sentido anti-horário.
Informações e convenções que vou usar (estas escolhas são necessárias para representar explicitamente as permutações):
- Os vértices estão em ordem anti-horária: primeiro
, depois , depois , depois . - Vou tomar
como a rotação de no sentido anti-horário (portanto envia ). - Vou tomar
como a reflexão cujo eixo passa por e (ou seja, o eixo vertical que fixa e e troca com ). - Convenção de composição: para um produto de permutações
interpreta-se (aplica-se primeiro e depois ). Isso é o padrão em teoria de grupos e permite calcular, por exemplo, .
O que preciso entregar: as imagens de
como permutações dos vértices (vou usar a notação cíclica de permutações, por exemplo
).
Passo 2
Breve explicação sobre notação de permutações (aula rapidinha e prática).
- Uma permutação de um conjunto de quatro vértices é simplesmente uma maneira de enviar cada vértice para outro vértice.
- Notação cíclica: um ciclo
significa . Ciclos disjuntos comutam e podem ser escritos lado a lado, por exemplo significa e . - O elemento identidade
é a permutação que deixa tudo fixo, que se escreve simplesmente ou explicitamente como ; aqui vou escrever apenas que é a identidade.
Exemplo rápido: se
então
. Se
então
e
.
Passo 3
Determinar
(identidade).
- Por definição,
fixa todos os vértices:
Em notação cíclica isso é simplesmente a identidade (normalmente escrevemos apenas
ou não colocamos nada). Vou listar como
para clareza.
Passo 4
Determinar
(rotação de
anti-horário).
- Pelas convenções,
envia
Em notação cíclica isso é
Passo 5
Determinar
(rotação de
).
- Aplicando
duas vezes: . - Em notação de ciclos,
é o produto de transposições disjuntas:
Passo 6
Determinar
(rotação de
ou
).
-
envia . - Em notação cíclica:
(Observe que
e é o ciclo
.)
Passo 7
Determinar
(reflexão cujo eixo fixa
e
e troca
com
).
- Pelas convenções,
fixa e , e troca e :
- Em notação cíclica:
Passo 8
Determinar
(produto
, ou seja aplicar
e depois
).
Calcule vértice a vértice:
Calcule vértice a vértice:
-
. -
. -
. -
.
Portanto a ação é
. Em ciclos disjuntos:
Passo 9
Determinar
(aplicar
e depois
).
-
. -
. -
. -
.
Logo
e
são fixos; em notação cíclica:
(Observe que isso coincide com o fato algébrico
.)
Passo 10
Determinar
(aplicar
e depois
).
-
. -
. -
. -
.
Assim
e
; em ciclos: