Exercício 7. Determine o comprimento da curva dada.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada e pede o comprimento dessa curva no intervalo indicado. Especificamente:
- Curva:
. - Intervalo do parâmetro:
. - Pergunta: determinar o comprimento da curva para
variando de a .
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Uma curva suave
tem comprimento dado por
- Aqui
é a velocidade da curva (derivada componente a componente) e é o módulo (norma) dessa velocidade — ou seja, a rapidez instantânea. Intuição: dividir o intervalo em muitos pedaços pequenos, aproximar a curva por segmentos retos; o comprimento total aproximado é soma dos comprimentos desses segmentos, que converge para a integral da velocidade. - Portanto, para achar o comprimento basta:
- calcular
; - calcular
; - integrar
de até .
- calcular
Passo 3
Derivar a curva componente a componente.
- Escrevendo a curva em componentes:
- Derivando cada componente em relação a
: -
, -
, -
.
-
- Logo a velocidade é
Passo 4
Calcular a norma da velocidade (rapidez).
- A norma em
de é
- Usando a identidade trigonométrica básica
, obtemos
- Interpretação: a velocidade tem módulo constante igual a
, ou seja, a parametrização desloca-se com rapidez unitária ao longo da curva.
Passo 5
Integrar a rapidez para obter o comprimento.
- Aplicando a fórmula do passo 2 com
e :
- Calculando a integral:
Passo 6
Interpretação geométrica e observação final (útil para a prova).
- A curva é a circunferência de raio
no plano paralelo ao plano com . O comprimento de uma circunferência de raio é ; aqui , então confirma o resultado da integral. - Dica prática para provas: ao ver componentes
verifiche sempre a norma da velocidade — frequentemente aparece e a integral fica simples.