Exercício 7. Determine o comprimento da curva dada.
\alpha(t)=\cos (t) \mathbf{i}+\operatorname{sen}(t) \mathbf{j}+1 \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada e pede o comprimento dessa curva no intervalo indicado. Especificamente:
  • Curva: \alpha(t)=\cos(t)\,\mathbf{i}+\operatorname{sen}(t)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
  • Intervalo do parâmetro: 0 \leq t \leq 2\pi.
  • Pergunta: determinar o comprimento da curva para t variando de 0 a 2\pi.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Uma curva suave \alpha:[a,b]\to\mathbb{R}^3 tem comprimento dado por
L=\int_a^b \|\alpha'(t)\|\,dt.
  • Aqui \alpha'(t) é a velocidade da curva (derivada componente a componente) e \|\alpha'(t)\| é o módulo (norma) dessa velocidade — ou seja, a rapidez instantânea. Intuição: dividir o intervalo em muitos pedaços pequenos, aproximar a curva por segmentos retos; o comprimento total aproximado é soma dos comprimentos desses segmentos, que converge para a integral da velocidade.
  • Portanto, para achar o comprimento basta:
    1. calcular \alpha'(t);
    2. calcular \|\alpha'(t)\|;
    3. integrar \|\alpha'(t)\| de a até b.

Passo 3

Derivar a curva componente a componente.
  • Escrevendo a curva em componentes:
\alpha(t)=\cos(t)\,\mathbf{i}+\sin(t)\,\mathbf{j}+1\,\mathbf{k}.
  • Derivando cada componente em relação a t:
    • \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t),
    • \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t),
    • \dfrac{d}{dt}1=0.
  • Logo a velocidade é
\alpha'(t)=-\sin(t)\,\mathbf{i}+\cos(t)\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Passo 4

Calcular a norma da velocidade (rapidez).
  • A norma em \mathbb{R}^3 de \alpha'(t)=(-\sin t,\;\cos t,\;0) é
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+0^2} =\sqrt{\sin^2 t+\cos^2 t}.
  • Usando a identidade trigonométrica básica \sin^2 t+\cos^2 t=1, obtemos
\|\alpha'(t)\|=1\quad\text{para todo }t.
  • Interpretação: a velocidade tem módulo constante igual a 1, ou seja, a parametrização desloca-se com rapidez unitária ao longo da curva.

Passo 5

Integrar a rapidez para obter o comprimento.
  • Aplicando a fórmula do passo 2 com a=0 e b=2\pi:
L=\int_0^{2\pi}\|\alpha'(t)\|\,dt=\int_0^{2\pi} 1\,dt.
  • Calculando a integral:
L=\bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi-0=2\pi.

Passo 6

Interpretação geométrica e observação final (útil para a prova).
  • A curva é a circunferência de raio 1 no plano paralelo ao plano xy com z=1. O comprimento de uma circunferência de raio r é 2\pi r; aqui r=1, então 2\pi confirma o resultado da integral.
  • Dica prática para provas: ao ver componentes \cos(t),\sin(t) verifiche sempre a norma da velocidade — frequentemente aparece \sin^2+\cos^2=1 e a integral fica simples.

Resposta

2\pi

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