A que elemento em D_{10}=\left\{I, R, R^{2}, R^{3}, R^{4}, F, R F, R^{2} F, R^{3} F, R^{4} F\right\} corresponde o elemento F R^{3} F R^{2} ? (Use as relações F^{2}=I, R^{5}=I e R F=F R^{-1}.)

Passo 1

O enunciado pede: dada a expressão F R^{3} F R^{2}, encontrar a qual elemento do conjunto D_{10}=\left\{I, R, R^{2}, R^{3}, R^{4}, F, R F, R^{2} F, R^{3} F, R^{4} F\right\} ela é igual, usando as relações fornecidas. As informações dadas são:
  • F^{2}=I.
  • R^{5}=I.
  • R F=F R^{-1}.
  • A lista completa dos elementos possíveis em D_{10} está acima (ou seja, qualquer produto pode ser simplificado para um desses dez).

Passo 2

Primeiro vamos manipular a relação R F = F R^{-1} para obter uma forma útil com F à esquerda e à direita de R. Multiplicando a igualdade R F = F R^{-1} à esquerda por F (isto é, aplicando F antes de ambos os lados), obtemos:
F(R F)=F(F R^{-1}).
Usando associatividade do produto no grupo e que F^{2}=I, isso dá
(F R)F=I\cdot R^{-1},
ou seja,
F R F = R^{-1}.

Passo 3

A partir de F R F = R^{-1} podemos generalizar para potências de R. Quero mostrar que, para qualquer inteiro k,
F R^{k} F = R^{-k}.
Isso pode ser visto rapidamente por indução ou multiplicando repetidamente a identidade F R F = R^{-1}. Por exemplo, para k=2:
F R^{2} F = F (R R) F = (F R F)(F R F) = R^{-1} R^{-1} = R^{-2}.
O passo associativo e o fato de F^{2}=I justificam passar de F R R F para (F R F)(F R F). O mesmo raciocínio estende-se para qualquer k. Portanto
\boxed{F R^{k} F = R^{-k}\\ \text{para todo inteiro }k.}

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula anterior ao termo F R^{3} F R^{2}. Primeiro agrupo os três primeiros fatores:
F R^{3} F R^{2} = (F R^{3} F)\,R^{2}.
Pela identidade do Passo 3 com k=3,
F R^{3} F = R^{-3}.
Logo
F R^{3} F R^{2} = R^{-3} R^{2}.

Passo 5

Simplifico os expoentes somando-os (ou subtraindo, porque há negativo). Em termos de expoentes:
R^{-3} R^{2} = R^{-3+2} = R^{-1}.
Agora uso a relação R^{5}=I para escrever R^{-1} como uma potência positiva de R. Como R^{5}=I, tem-se R^{-1}=R^{4} (porque R^{4}R=R^{5}=I). Portanto
R^{-1} = R^{4}.

Passo 6

Concluímos que a expressão original simplifica-se para
F R^{3} F R^{2} = R^{4}.
Ou seja, o elemento corresponde ao elemento R^{4} do conjunto D_{10}.

Resposta

R^{4}

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