A que elemento em
corresponde o elemento
? (Use as relações
e
.)
Passo 1
O enunciado pede: dada a expressão
, encontrar a qual elemento do conjunto
ela é igual, usando as relações fornecidas. As informações dadas são:
-
. -
. -
. - A lista completa dos elementos possíveis em
está acima (ou seja, qualquer produto pode ser simplificado para um desses dez).
Passo 2
Primeiro vamos manipular a relação
para obter uma forma útil com
à esquerda e à direita de
. Multiplicando a igualdade
à esquerda por
(isto é, aplicando
antes de ambos os lados), obtemos:
Usando associatividade do produto no grupo e que
, isso dá
ou seja,
Passo 3
A partir de
podemos generalizar para potências de
. Quero mostrar que, para qualquer inteiro
,
Isso pode ser visto rapidamente por indução ou multiplicando repetidamente a identidade
. Por exemplo, para
:
O passo associativo e o fato de
justificam passar de
para
. O mesmo raciocínio estende-se para qualquer
. Portanto
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula anterior ao termo
. Primeiro agrupo os três primeiros fatores:
Pela identidade do Passo 3 com
,
Logo
Passo 5
Simplifico os expoentes somando-os (ou subtraindo, porque há negativo). Em termos de expoentes:
Agora uso a relação
para escrever
como uma potência positiva de
. Como
, tem-se
(porque
). Portanto
Passo 6
Concluímos que a expressão original simplifica-se para
Ou seja, o elemento corresponde ao elemento
do conjunto
.