(3) 2. Considere uma haste rígida de massa desprezível por onde desliza, sem atrito, uma conta de massa m. Analise o movimento dessa conta nas situações onde a haste está girando com velocidade angular constante \omega no plano horizontal e no vertical usando o formalismo lagrangiano para ambos os casos. Determine as forças físicas de vínculo que mantém a conta presa à haste girante em ambas as situações utilizando o métodos dos multiplicadores de Lagrange. Dica: a força física de vínculo \boldsymbol{F}^{\prime} está relacionada com a força generalizada de vínculo Q_{k}^{\prime} por meio da equação
Q_{k}^{\prime}=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i}^{\prime} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}}
Que interpretação você dá para as forças físicas de vínculo encontradas?
Distribuição de pontos:
  • Escrever corretamente as equações de vínculo e determinar seus tipos: 0,5 pontos para cada equação.
  • Encontrar as forças de vínculo generalizadas por meio dos multiplicadores de Lagrange: 0,5 pontos cada força.
  • Obter as forças de vínculo físicas: 0,5 pontos cada força de vínculo física.

Passo 1

Enunciado (o que nos pediram) e informações dadas:\n
  • Temos uma haste rígida de massa desprezível e uma conta de massa m que desliza sem atrito ao longo da haste.\n
  • A haste gira com velocidade angular constante \omega. Precisamos analisar duas situações: (A) a haste gira no plano horizontal; (B) a haste gira no plano vertical.\n
  • Pedem-se, em cada situação, (i) escrever a(s) equação(ões) de vínculo e identificar o tipo; (ii) usar o formalismo lagrangiano com multiplicadores de Lagrange para encontrar as forças generalizadas de vínculo; (iii) obter as forças físicas de vínculo \boldsymbol{F}^{\prime} usando a relação
Q_{k}^{\prime}=\sum_{i=1}^{N} \boldsymbol{F}_{i}^{\prime}\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}_{i}}{\partial q_{k}}.
  • Informação geométrica que vou usar (escolha de coordenadas): escolho como coordenadas generalizadas \,q_{1}=r (distância da conta ao ponto de rotação, medida ao longo da haste) e \,q_{2}=\theta (ângulo que a haste faz no plano). A conta tem posição \boldsymbol{r}=r\boldsymbol{e}_{r}(\theta) no plano da haste. O vínculo imposto pela rotação fixa da haste é \theta=\omega t (i.e. \theta-\omega t=0).\n
    Observação: não começo a resolver ainda; apenas listei o que tenho e o que é pedido.

Passo 2

Comentando o vínculo e seu tipo (caso comum para as duas situações):\n
  • A equação de vínculo é
f(q,t)=\theta-\omega t=0.
  • Tipo do vínculo: é uma restrição holonômica (uma relação entre coordenadas e tempo) que depende explicitamente do tempo, logo é rheonômica (não scleronômica). Em palavras: holonômica e rheonômica (ou seja, depende de t).\n
    (Isto vale tanto para o caso horizontal quanto para o vertical; a diferença entre os casos aparece na energia potencial.)

Passo 3

Montagem do Lagrangiano e introdução do multiplicador de Lagrange (ideia geral):\n
  • Em coordenadas polares no plano da haste a energia cinética da conta é sempre
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big).
  • No caso horizontal não há potencial gravitacional ( V=0). No caso vertical há potencial gravitacional V=m g z que expressarei abaixo em função de r,\theta.\n
  • Para impor \theta-\omega t=0 adicionamos ao Lagrangiano o termo com multiplicador \lambda(t):
\mathcal{L}'=\mathcal{L}+\lambda(\theta-\omega t).
  • As equações de Euler–Lagrange com multiplicador para as coordenadas r,\theta são (mostrarei os desenvolvimentos caso a caso).

Passo 4

Caso A — haste girando no plano horizontal (sem gravidade)\n
  1. Coordenadas e energias:\n
  • posição: \boldsymbol{r}=r\cos\theta\,\boldsymbol{i}+r\sin\theta\,\boldsymbol{j} (usei isso para justificar T em coordenadas polares);\n
  • energia cinética:
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big),
e V=0, logo \mathcal{L}=T.\n
2) Lagrangiano com multiplicador:
\mathcal{L}'=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big)+\lambda(\theta-\omega t).
  1. Equação de Euler–Lagrange para r: faço as derivadas passo a passo.\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\dot r}=m\dot r. Então
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\dot r}\right)=m\ddot r.
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial r}=m r\dot\theta^{2}.
  • A E-L para r é
m\ddot r-m r\dot\theta^{2}=0.
  1. Equação de Euler–Lagrange para \theta:\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\dot\theta}=m r^{2}\dot\theta. Então
\frac{d}{dt}\!\left(m r^{2}\dot\theta\right)=m\big(2r\dot r\dot\theta+r^{2}\ddot\theta\big).
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\theta}=\lambda (pois \lambda(\theta-\omega t) \partial/\partial\theta=\lambda).\n
  • A E-L para \theta é
m\big(2r\dot r\dot\theta+r^{2}\ddot\theta\big)=\lambda.
  1. Agora imposto o vínculo rigidamente: \theta=\omega t\Rightarrow\dot\theta=\omega,\\ \ddot\theta=0. Substituindo na equação anterior:
\lambda=m\big(2r\dot r\omega + r^{2}\cdot 0\big)=2m r\dot r\,\omega.
  1. Identificando as forças generalizadas de vínculo:\n
  • A equação de r não recebeu termo com \lambda, logo a força generalizada de vínculo correspondente a r é
Q_{r}^{\prime}=0.
  • Da equação de \theta obtemos
Q_{\theta}^{\prime}=\lambda=2m r\dot r\,\omega.
(Isto significa: o multiplicador \lambda é a força generalizada associada ao ângulo \theta.)\n
7) Passando para a força física de vínculo \boldsymbol{F}^{\prime}:\n
  • A relação pedida é
Q_{\theta}^{\prime}=\boldsymbol{F}^{\prime}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial\theta}.
  • Calculamos \partial\boldsymbol{r}/\partial\theta=r\,\boldsymbol{e}_{\theta}. Portanto
Q_{\theta}^{\prime}=r\,(\boldsymbol{F}^{\prime}\cdot\boldsymbol{e}_{\theta})=r\,F_{\theta}^{\prime}.
  • Assim
F_{\theta}^{\prime}=\frac{Q_{\theta}^{\prime}}{r}=\frac{2m r\dot r\,\omega}{r}=2m\dot r\,\omega.
  • A componente radial do vínculo é F_{r}^{\prime}=Q_{r}^{\prime}=0 (pois \partial\boldsymbol{r}/\partial r=\boldsymbol{e}_{r} e Q_{r}^{\prime}=0).\n
  1. Logo a força física de vínculo (vetorial) é
\boxed{\boldsymbol{F}^{\prime}=2m\dot r\,\omega\;\boldsymbol{e}_{\theta}.}
Interpretação (horizontal): a força de vínculo é puramente tangencial (direção \boldsymbol{e}_{\theta}, perpendicular à haste). Não há força radial de vínculo, o que significa que a haste não impede que a conta deslize radialmente; a componente 2m\dot r\,\omega é a contribuição “de Coriolis” que aparece na força que a haste precisa aplicar para manter \theta=\omega t enquanto r muda.

Passo 5

Caso B — haste girando no plano vertical (com gravidade)\n
  1. Geometria e energia potencial: escolho o plano vertical com eixo vertical z. Tomando \theta medido a partir de um referencial conveniente (por exemplo a partir do eixo horizontal), a altura da conta é z=r\sin\theta (o sinal depende da convenção; aqui uso z=r\sin\theta para que quando \theta=\pi/2 o ponto esteja acima). Então o potencial gravitacional é
V=m g r\sin\theta.
  1. Lagrangiano:
\mathcal{L}=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big)-m g r\sin\theta,
e com multiplicador
\mathcal{L}'=\tfrac{1}{2}m\big(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\big)-m g r\sin\theta+\lambda(\theta-\omega t).
  1. E-L para r: calculo passo a passo\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\dot r}=m\dot r\Rightarrow \frac{d}{dt}=m\ddot r.\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial r}=m r\dot\theta^{2}-m g\sin\theta.\n
  • Logo
m\ddot r-m r\dot\theta^{2}+m g\sin\theta=0.
  1. E-L para \theta:\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\dot\theta}=m r^{2}\dot\theta\Rightarrow \frac{d}{dt}=m\big(2r\dot r\dot\theta+r^{2}\ddot\theta\big).\n
  • \displaystyle\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\theta}=-m g r\cos\theta+\lambda.\n
  • A E-L fica
m\big(2r\dot r\dot\theta+r^{2}\ddot\theta\big)+m g r\cos\theta=\lambda.
  1. Impondo o vínculo \theta=\omega t\Rightarrow\dot\theta=\omega,\\ \ddot\theta=0, obtemos
\lambda=m\big(2r\dot r\omega\big)+m g r\cos\theta =2m r\dot r\,\omega + m g r\cos\theta.
  1. Forças generalizadas de vínculo:\n
  • Q_{r}^{\prime}=0 (não aparece \lambda na E-L de r);\n
  • Q_{\theta}^{\prime}=\lambda=2m r\dot r\,\omega + m g r\cos\theta.\n
  1. Força física de vínculo \boldsymbol{F}^{\prime}:\n
  • Usando \partial\boldsymbol{r}/\partial\theta=r\boldsymbol{e}_{\theta} como antes,
r\,F_{\theta}^{\prime}=Q_{\theta}^{\prime}\quad\Rightarrow\quad F_{\theta}^{\prime}=\frac{Q_{\theta}^{\prime}}{r}=2m\dot r\,\omega + m g\cos\theta.
  • A componente radial continua F_{r}^{\prime}=0.\n
  1. Assim a força física de vínculo (vetorial) no caso vertical é
\boxed{\boldsymbol{F}^{\prime}=\big(2m\dot r\,\omega + m g\cos\theta\big)\,\boldsymbol{e}_{\theta}.}
Interpretação (vertical): novamente a força de vínculo é puramente tangencial (perpendicular à haste). Ela tem duas parcelas claras: 2m\dot r\,\omega (o termo de “Coriolis” que aparece quando r muda e a haste gira) e m g\cos\theta (a projeção da gravidade na direção \boldsymbol{e}_{\theta} que a haste precisa contrabalançar para impor \theta=\omega t). Não há componente radial de vínculo: a haste não impede o avanço/recuo ao longo de sua própria direção, ela só aplica a força perpendicular necessária para forçar a rotação prescrita.

Passo 6

Resumo físico e observações finais (para entender na hora da prova):\n
  • Em ambos os casos o vínculo \theta-\omega t=0 é holonômico e rheonômico (depende de t).\n
  • O multiplicador \lambda corresponde à força generalizada associada à coordenada \theta e, dividido por r, dá a componente tangencial da força física de vínculo.\n
  • Em ambos os casos a componente radial do vínculo é zero ( F_{r}^{\prime}=0), porque o movimento permitido é exatamente ao longo da haste; a haste não impede o movimento radial, ela impede deslocamento fora da haste (direção \boldsymbol{e}_{\theta}).\n
  • Interpretações úteis para a prova: o termo 2m\dot r\,\omega surge sempre que há \dot r\neq0 e \dot\theta\neq0 e representa a necessidade de uma força tangencial para manter \theta=\omega t (efeito análogo ao termo de Coriolis). No caso vertical aparece adicionalmente a projeção m g\cos\theta da gravidade na direção perpendicular à haste.

Resposta

Horizonte (plano horizontal): \theta-\omega t=0 (holonômico, rheonômico). \;Q_{r}^{\prime}=0,\;Q_{\theta}^{\prime}=2m r\dot r\,\omega. \;\boldsymbol{F}^{\prime}=2m\dot r\,\omega\;\boldsymbol{e}_{\theta}.\n
Vertical (plano vertical): \theta-\omega t=0 (holonômico, rheonômico). \;Q_{r}^{\prime}=0,\;Q_{\theta}^{\prime}=2m r\dot r\,\omega + m g r\cos\theta. \;\boldsymbol{F}^{\prime}=\big(2m\dot r\,\omega + m g\cos\theta\big)\boldsymbol{e}_{\theta}.

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