(3) 2. Considere uma haste rígida de massa desprezível por onde desliza, sem atrito, uma conta de massa
. Analise o movimento dessa conta nas situações onde a haste está girando com velocidade angular constante
no plano horizontal e no vertical usando o formalismo lagrangiano para ambos os casos. Determine as forças físicas de vínculo que mantém a conta presa à haste girante em ambas as situações utilizando o métodos dos multiplicadores de Lagrange. Dica: a força física de vínculo
está relacionada com a força generalizada de vínculo
por meio da equação
Que interpretação você dá para as forças físicas de vínculo encontradas?
Distribuição de pontos:
- Escrever corretamente as equações de vínculo e determinar seus tipos: 0,5 pontos para cada equação.
- Encontrar as forças de vínculo generalizadas por meio dos multiplicadores de Lagrange: 0,5 pontos cada força.
- Obter as forças de vínculo físicas: 0,5 pontos cada força de vínculo física.
Distribuição de pontos:
Passo 1
Enunciado (o que nos pediram) e informações dadas:\n
- Temos uma haste rígida de massa desprezível e uma conta de massa
que desliza sem atrito ao longo da haste.\n - A haste gira com velocidade angular constante
. Precisamos analisar duas situações: (A) a haste gira no plano horizontal; (B) a haste gira no plano vertical.\n - Pedem-se, em cada situação, (i) escrever a(s) equação(ões) de vínculo e identificar o tipo; (ii) usar o formalismo lagrangiano com multiplicadores de Lagrange para encontrar as forças generalizadas de vínculo; (iii) obter as forças físicas de vínculo
usando a relação
- Informação geométrica que vou usar (escolha de coordenadas): escolho como coordenadas generalizadas
(distância da conta ao ponto de rotação, medida ao longo da haste) e (ângulo que a haste faz no plano). A conta tem posição no plano da haste. O vínculo imposto pela rotação fixa da haste é (i.e. ).\n
Observação: não começo a resolver ainda; apenas listei o que tenho e o que é pedido.
Passo 2
Comentando o vínculo e seu tipo (caso comum para as duas situações):\n
- A equação de vínculo é
- Tipo do vínculo: é uma restrição holonômica (uma relação entre coordenadas e tempo) que depende explicitamente do tempo, logo é rheonômica (não scleronômica). Em palavras: holonômica e rheonômica (ou seja, depende de
).\n
(Isto vale tanto para o caso horizontal quanto para o vertical; a diferença entre os casos aparece na energia potencial.)
Passo 3
Montagem do Lagrangiano e introdução do multiplicador de Lagrange (ideia geral):\n
- Em coordenadas polares no plano da haste a energia cinética da conta é sempre
- No caso horizontal não há potencial gravitacional (
). No caso vertical há potencial gravitacional que expressarei abaixo em função de .\n - Para impor
adicionamos ao Lagrangiano o termo com multiplicador :
- As equações de Euler–Lagrange com multiplicador para as coordenadas
são (mostrarei os desenvolvimentos caso a caso).
Passo 4
Caso A — haste girando no plano horizontal (sem gravidade)\n
- Coordenadas e energias:\n
- posição:
(usei isso para justificar em coordenadas polares);\n - energia cinética:
e
, logo
.\n
2) Lagrangiano com multiplicador:
2) Lagrangiano com multiplicador:
- Equação de Euler–Lagrange para
: faço as derivadas passo a passo.\n
-
. Então
-
- A E-L para
é
- Equação de Euler–Lagrange para
:\n
-
. Então
-
(pois dá ).\n - A E-L para
é
- Agora imposto o vínculo rigidamente:
. Substituindo na equação anterior:
- Identificando as forças generalizadas de vínculo:\n
- A equação de
não recebeu termo com , logo a força generalizada de vínculo correspondente a é
- Da equação de
obtemos
(Isto significa: o multiplicador
é a força generalizada associada ao ângulo
.)\n
7) Passando para a força física de vínculo :\n
7) Passando para a força física de vínculo
- A relação pedida é
- Calculamos
. Portanto
- Assim
- A componente radial do vínculo é
(pois e ).\n
- Logo a força física de vínculo (vetorial) é
Interpretação (horizontal): a força de vínculo é puramente tangencial (direção
, perpendicular à haste). Não há força radial de vínculo, o que significa que a haste não impede que a conta deslize radialmente; a componente
é a contribuição “de Coriolis” que aparece na força que a haste precisa aplicar para manter
enquanto
muda.
Passo 5
Caso B — haste girando no plano vertical (com gravidade)\n
- Geometria e energia potencial: escolho o plano vertical com eixo vertical
. Tomando medido a partir de um referencial conveniente (por exemplo a partir do eixo horizontal), a altura da conta é (o sinal depende da convenção; aqui uso para que quando o ponto esteja acima). Então o potencial gravitacional é
- Lagrangiano:
e com multiplicador
- E-L para
: calculo passo a passo\n
-
\n -
\n - Logo
- E-L para
:\n
-
\n -
\n - A E-L fica
- Impondo o vínculo
, obtemos
- Forças generalizadas de vínculo:\n
-
(não aparece na E-L de );\n -
\n
- Força física de vínculo
:\n
- Usando
como antes,
- A componente radial continua
.\n
- Assim a força física de vínculo (vetorial) no caso vertical é
Interpretação (vertical): novamente a força de vínculo é puramente tangencial (perpendicular à haste). Ela tem duas parcelas claras:
(o termo de “Coriolis” que aparece quando
muda e a haste gira) e
(a projeção da gravidade na direção
que a haste precisa contrabalançar para impor
). Não há componente radial de vínculo: a haste não impede o avanço/recuo ao longo de sua própria direção, ela só aplica a força perpendicular necessária para forçar a rotação prescrita.
Passo 6
Resumo físico e observações finais (para entender na hora da prova):\n
- Em ambos os casos o vínculo
é holonômico e rheonômico (depende de ).\n - O multiplicador
corresponde à força generalizada associada à coordenada e, dividido por , dá a componente tangencial da força física de vínculo.\n - Em ambos os casos a componente radial do vínculo é zero (
), porque o movimento permitido é exatamente ao longo da haste; a haste não impede o movimento radial, ela impede deslocamento fora da haste (direção ).\n - Interpretações úteis para a prova: o termo
surge sempre que há e e representa a necessidade de uma força tangencial para manter (efeito análogo ao termo de Coriolis). No caso vertical aparece adicionalmente a projeção da gravidade na direção perpendicular à haste.
Resposta
Horizonte (plano horizontal):
(holonômico, rheonômico).
\n
Vertical (plano vertical): (holonômico, rheonômico).
Vertical (plano vertical):